$2\pi$ y las Reglas de Feynman

Question

Me doy cuenta de una $2\pi$ plazo en el $\delta$-función cuando se intenta construir una amplitud utilizando las Reglas de Feynman. El $2\pi$ también aparece como una integración de medida para exigir la normalización en el espacio de fase, ¿cuál es el origen de esta $2\pi$ plazo? ¿De dónde provienen?

Answer 1

Supongo que hablas de la norma $2\pi$ que aparece en las reglas para la transformada de Fourier. El factor de $2\pi$ o $1/2\pi$ o dos factores de $1/\sqrt{2\pi}$ tienen que aparecer "en algún lugar" de la transformada de Fourier de las reglas porque esto es lo que las matemáticas implica. En cualquier caso, si esta es tu pregunta, es una pregunta matemática y usted puede aprender en algunos básica suficiente accidente cursos de cálculo, quizás incluso en

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

El número de $k=2\pi$ es el mínimo número positivo para que $\exp(i k x) = 1$$x=1$. Eso es debido a que $\exp(2\pi i)=1$ – de Gauss y de Feynman de la mayoría de los favoritos de identidad en toda la matemática. Un schoolkid sabe constante $2\pi$ que aparece en el exponente de que la circunferencia del círculo unitario. Por eso $2\pi$ es el natural de separación en el espacio de las frecuencias y el espacio que se necesita para una traducción entre "una suma de más de angular de frecuencias o de números de onda" a una integral sobre las mismas variables. (Esta conversión es fácil si usted piensa acerca de la integral de Riemann $\int f(x)dx=\lim \sum f(x)\Delta x$ etc.: el $\Delta x$ factores son los espaciamientos.) Que es como el $2\pi$ aparece.

Equivalentemente, si desea que el $\delta$-función, el $2\pi$ aparece en la identidad $$ \int_{-\infty}^\infty \exp(ikx) dx = 2\pi \delta(k) $$ Para demostrar esto, se puede regular la integral en el intervalo de $(-L/2,+L/2)$. Para hacer que la función exponencial periódico en dicho intervalo, $k$ tiene que ser un múltiplo de $2\pi/L$, y la integral sólo será cero si $k=0$. De modo que la integral es $L$ los tiempos de la "delta de Kronecker" imponer $k=0$ y debido a que el espacio entre permitió $k$$2\pi/L$, la integral es decir $L$ los tiempos de la delta de Kronecker se puede convertir a $2\pi/L$ veces $L$ veces el delta-función que es $2\pi$ veces el delta-función debido a que el $L$ factores de cancelar.

Varios múltiplos de la $\pi$ aparecen en toneladas de otros lugares, en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos y la física en general por muchas razones relacionadas entre sí. Por ejemplo, la evaluación de los diagramas de Feynman conduce a que el volumen de una 4-esfera o relacionadas con las integrales y los volúmenes de la unidad de $n$-esferas son racionales y se multiplica de una potencia de $\pi$, demasiado. (Que, por ejemplo, por qué es natural para incluir a $1/4\pi$ de la superficie de la esfera en la ley de Coulomb. El ejemplo inicial con $2\pi$ es un ejemplo especial así porque el mencionado círculo unitario es un 1-dimensiones de la esfera, también.) Sólo hay demasiado matemáticas aquí para preparar uno para todas las apariciones de $\pi$ en la física. Esta constante aparece en casi todas partes en física y uno no puede realmente hacer física sin saber que muchos de estos matemático identidades que implican $\pi$.

Answer 2

Cuando se empieza por calcular las amplitudes de transición en la posición del espacio, y tomando la transformada de Fourier de estas amplitudes, para conseguir la transición de amplitud de impulso espacio, consigue términos (por ejemplo en un $2 \to 2$ interacción) en $\int d^4v e ^{-i(p_1+p_2-p_3-p_4)v}$, y esto es igual a $(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)$

Un ejemplo de tal amplitud en la posición del espacio (por ejemplo en un $\phi^4$ teoría):

$A (x_1,x_2,x_3,x_4) = \int d^4w ~d^4z ~\delta(x_1-w)~\delta(x_2-w) [D(w-z)]^2~\delta(z-x_3)\delta(z-x_4)$

Aquí $D$ es el propagador en la posición del espacio.

Al tomar la transformada de Fourier $A (p_1,p_2,p_3,p_4) = \int dx_1 dx_2 dx_3dx_4 A (x_1,x_2,x_3,x_4) e^{i (p_1x_1 +p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)}$,

consigue un plazo $e ^{i(w (p_1+p_2) - z(p_3+p_4))}$, que se puede escribir $e ^{i w (p_1+p_2 -p_3-p_4)} e ^{i(w - z) (p_3+p_4)}$, el primer término da la $(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)$ plazo, mientras que el segundo término da la transformada de Fourier de $[D(x)]^2$,$p_3+p_4= p_1+p_2$, que es una convolución $\int dp \tilde D(p) \tilde D(p_1+p_2 -p)$ donde $\tilde D(p)=\frac{1}{p^2}$