Deje $M$ $R$- módulo ($R$ anillo conmutativo con unidad) tal que para cada distinto de cero submódulo $N$ de $M$ , $M/N$ no es isomorfo a $M$; entonces, ¿qué podemos decir acerca de $M$? Podemos decir $M$ es finitely generado? Si, en general, $M$ no es finitely generado, entonces, ¿alguna condición en $R$ implica $M$ es finitely generado? Sólo soy capaz de demostrar que si $M$ es gratis, a continuación, $M$ es finitely generado. Por favor, ayudar. gracias de antemano
Respuesta
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He aquí un ejemplo que no finitely generado.
Deje $R=\mathbb{Z}$ y $$M=\bigoplus_{p\text{ prime}}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$$
A continuación, $M$ tiene elementos de orden $p$ por cada prime $p$, pero si $N$ es un no-cero submódulo, luego por algunos de los mejores $p$, $M/N$ no tiene elementos de orden $p$, lo $M\not\cong M/N$.
O, de nuevo con $R=\mathbb{Z}$, tome $M=\mathbb{Q}$. Todos los no-cero grupo endomorfismo de $\mathbb{Q}$ es un isomorfismo, así que no es isomorfo a un cociente de sí mismo.
