¿Qué significa si el estándar de Hermitian forma de complejo de dos vectores es puramente imaginario?

Question

Si $v,w \in \mathbb{C}^n$, lo que significa geométricamente para $\langle v , w \rangle$ a ser puramente imaginario?

Answer 1

Para entender lo que geométricamente lo que significa para $\left<v,w\right>$ a ser puramente imaginario, es necesario entender geométricamente cómo un Hermitian producto interior $\left<\cdot,\cdot\right>_{\mathbb C}$ $\mathbb C^n$ se relaciona con el producto interior Euclidiano $\left<\cdot,\cdot\right>_{\mathbb R}$ en $\mathbb R^{2n}$. Estos están relacionados por $\mathbb C^n$ como un verdadero espacio vectorial es, simplemente,$\mathbb R^{2n}$.

La clave de la relación es que la multiplicación por $i$ $\mathbb C^n$ corresponde a la aplicación de un real lineal mapa de $J\colon \mathbb R^{2n}\to\mathbb R^{2n}$ tal que $J^2=-1$. Concretamente, se piensa en $\mathbb R^{2n}$ $n$ copias de $\mathbb R^2$, e $J$ como el lineal mapa de la rotación de todos los aviones simultáneamente por $90^\circ$. Geométricamente, esta es una opción de eje a través de todo el espacio $\mathbb R^{2n}$, alrededor de las cuales hacer rotaciones.

Entonces la fórmula que expresan la relación entre la Hermitian producto interior en $\mathbb C^n$ y el producto interior Euclidiano es $$\left<v,w\right>_{\mathbb C}=\left<v,w\right>_{\mathbb R}+i\left<v,Jw\right>_{\mathbb R}$$ (esta es la fórmula cuando el Hermitian interior del producto es complejo-lineal en la primera variable y conjugado-lineal en la segunda; de lo contrario, la parte imaginaria $\left<Jv,w\right>$ lugar).

A partir de esto, la interpretación geométrica es fácil. La parte real de la Hermitian interior del producto es $0$ si los dos vectores son perpendiculares en $\mathbb R^{2n}$. La parte imaginaria de la Hermitian interior del producto es $0$ si girar uno de los dos vectores por $90^\circ$ (alrededor de los designados eje!) hace perpendicular. Esto es algo difícil de visualizar porque el pequeño no trivial ejemplo, requiere de un pensamiento acerca de la $\mathbb R^4$, $1$ dimensión superior de la cómoda.

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Usted puede comprobar la fórmula con los siguientes fácil el cálculo de los productos de puntos. Deje $(z_1,\dots,z_n),(w_1,\dots,w_n)\in\mathbb C^n$ ser dado como $(a_1,b_1,\dots,a_n,b_n)\in\mathbb R^{2n}$$(c_1,d_1,\dots,c_n,d_n)\in\mathbb R^{2n}$. Entonces $$\begin{align*} (z_1,\dots,z_n)\cdot\overline{(w_1,\dots,w_n)}&=\sum_{j=1}^nz_j\cdot\overline w_j=\sum_{j=1}^n(a_j+ib_j)(c_j-id_j)\\ &=\sum_{j=1}^na_jc_j+b_jd_j+i(a_j(-d_j)+b_jc_j)\\ &=\sum_{j=1}^n(a_j,b_j)\cdot(c_j,d_j)+i((a_j,b_j)\cdot J(c_j,d_j))\\ =(a_1,b_1,\dots,a_n,b_n)\cdot(c_1,d_1,\dots,c_n,d_n)&+(a_1,b_1,\dots,a_n,b_n)\cdot J(c_1,d_1,\dots,c_n,d_n) \end{align*}$$

Answer 2

No estoy seguro de lo que significa geométricamente, pero significa $\| v + w \|^2 = \|v \|^2 + \|w^2\|$.

$\langle v, w \rangle$ puramente imaginario significa que $\overline{\langle v, w \rangle } = - \langle v, w \rangle$. Sin embargo, siempre tenemos $\overline{\langle v, w \rangle } = \langle w, v \rangle$. Esto significa $$\langle w, v \rangle = - \langle v, w \rangle \implies \langle w, v \rangle + \langle v, w \rangle = 0.$$

Esto implica que $$\begin{align*} \| v + w \|^2 &= \langle v + w, v + w \rangle \\ &= \langle v, v\rangle + \langle v,w\rangle + \langle w, v \rangle + \langle w, w \rangle \\ &= \| v \|^2 + \| w \|^2. \end{align*}$$