¿Qué es

Question

$$\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(r+2)r!}$$

si podemos encontrar la suma de esta serie podemos evaluar límite

\begin{equation*} \frac{1}{(3)1!}+ \frac{1}{(4)2!}+\frac{1}{(5)3!}+ .... \frac{1}{(n+2)n!} \end{ecuación*}

Cómo podemos encontrar la suma de esta serie

Answer 1

$$\sum_{r\geq 1}\frac{1}{(r+2)r!}=\sum_{n\geq 1}\frac{(n+1)}{(n+2)!}=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+1)!}-\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+2)!}=\color{red}{\frac{1}{2}}.$$

Answer 2

Sugerencia. El uso de $$ \int_0^1^{i+1}dx=\frac1{r+2} $$ puede escribir $$ \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+2)r!}=\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!}\int_0^1x^{r+1}dx=\int_0^1\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!}x^{r+1}dx=\int_0^1x(e^x-1)dx $$ dando

$$ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(r+2)r!}=\frac12. $$

Answer 3

En primer lugar, encontrar $\displaystyle\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(r+2)r!}$ para que así sea

Tr( rth plazo ) = $\frac{1}{(r+2)r!}$ o tn(término n-ésimo ) = $\frac{1}{(n+2)n!}$

Ahora simplyfying tn ..

$\frac{n+1}{(n+2)(n+1)n!}$

$\frac{n+1}{(n+2)!}$

ahora vamos a $n+1=a_1+a_2(n+2) $y encuentra el valor de $a_1$ $a_2 $$a_1$=-1 y $a_2 $=1 ,

llegamos tn = $\frac{a_1+a_2(n+2)}{(n+2)!}$

o

tn=$\frac{1}{(n+2)!}-\frac{1}{(n+1)!}$

poner en valor de n=1,2,3,4,.... y agregar todo el plazo obtendrá de la suma =$\frac{1}{2}$

ahora , el límite se evaluó fácilmente que es $\frac{1}{2}$