En primer lugar, sé que el grupo algebraico debe ser no singular y el índice del componente de identidad debe ser finito.
Ahora bien, dada una variedad algebraica (especialmente para una curva algebraica o una superficie algebraica cuya imagen es bella) con estas condiciones, ¿cómo juzgar si podemos darle una estructura de grupo y convertirla en un grupo algebraico?
Un grupo algebraico debe ser liso (como mencionas) y también homogéneo en el sentido de que dados dos puntos en él existe un automorfismo de la variedad que envía el primero al segundo.
Esta condición de homogeneidad ya impide que haya curvas lisas completas de género $\geq 2$ de ser grupos algebraicos (porque tienen grupos finitos de automorfismos).
En $\mathbb C$ los grupos algebraicos completos conectados han sido clasificados: son exactamente los tori $\mathbb C^g/\Lambda$ , donde $\Lambda$ es una red que satisface las condiciones bilineales de Riemann: véase el teorema (4.2.1) de la página 73 de la obra de Birkenhake-Lange Variedades abelianas complejas .
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