(14^2014)^2014 mod 60 sin una calculadora

Question

Calcular con una calculadora:

$\left (14^{2014} \right )^{2014} \mod 60$

Yo estaba tratando de resolver esto con el Teorema de Euler, pero resultó que el mcd de a y m no 1.

Esta fue mi solución hasta el momento (también en realidad no funciona sin una calculadora):

Descomposición en factores primos de 60:
$60 = 2^{2}\cdot 3\cdot 5$

Teorema del Resto chino de instalación:
$\left (14^{2014} \right )^{2014} \mod 4\\$
$\left (14^{2014} \right )^{2014} \mod 3\\$
$\left (14^{2014} \right )^{2014} \mod 5\\$

El Teorema de Euler:
$\phi \left ( 4 \right ) = 2$
$\Rightarrow 14^{2}\equiv 1 \mod 4$

Huy, eso no es correcto porque gcd(14,4) no es 1, sino 2. El Teorema de Euler sólo funciona cuando mcd(a,m) = 1.

No sé de qué otra manera para solucionar esto, ¿alguien tiene una idea?

Answer 1

$$\left (14^{2014} \right )^{2014}=(14^2)^{1007\times2014}\equiv 16^{1007\times2014} \mod 60$$

Siguiente, observe que $16\times 16\equiv 16\pmod{60}$ a la conclusión de $16^n\equiv 16\pmod{60}$ para todos los enteros $n\ge 1$

Answer 2

$$X=\large (14^{2014})^{2014}=14^{2014^2}$$

Ahora, $60=3\times 4\times 5$. Ahora,

$$X\equiv\begin{cases}(-1)^{2014^2}\equiv 1\pmod3\\ (-1)^{2014^2}\equiv 1\pmod5\\ 7^{2014^2}\cdot 4^{(2014^2)/2}\equiv 0\pmod4\end{cases}$$

Ahora, utilice el Teorema del Resto Chino.

Answer 3

Con todos los poderes de $2$, $(14^{2014})^{2014}$ es claramente equivalente a $0\pmod4$. También tenemos $(14^{2014})^{2014}\equiv[(-1)^{2014}]^{2014}\equiv 1\pmod{15}$. Estos $2$ condiciones de rendimiento combinado con un resultado equivalente a $16\pmod{60}$.

Answer 4

Como $(a^m)^n=a^{mn},$

necesitamos $14^{2014^2}\pmod{60}$

Como $(14^n,60)=2^2$ por entero $n\ge2,$

permítanos calcular $14^{2014^2-2}\pmod{15}$

Ahora $14\equiv-1\pmod{15}\implies14^{2014^2-2}\equiv(-1)^{2014^2-2}\pmod{15}\equiv1$ $2014^2-2$ es incluso

$\implies14^2\cdot14^{2014^2-2}\equiv14^2\cdot1\pmod{14^2\cdot15}$

Como $60|14^2\cdot15,$
$$14^2\cdot14^{2014^2-2}\equiv14^2\pmod{60}\equiv ?$$

Answer 5

Carmichael de la función de $60$ es lcm$(\phi(4),\phi(3),\phi(5))=$ lcm$(2,2,4)=4$, lo $a^k \equiv a^{k+4}$ una vez que todos los posibles factores primos de a $60$ se han acumulado. Por lo que rápidamente puede plaza de $14$ dos veces y ver a dónde va: $$ 14^2 = 196 \equiv 16 \bmod 60 \\ 14^4 \equiv 16^2 = 256 \equiv 16 \bmod 60 $$ Así que somos afortunados aquí, y $14^{2k} \equiv 16^k \equiv 16 \bmod 60$. No hay necesidad de preocuparse acerca de la segunda exponenciación, excepto observar que el resultado de la exponente es, sin duda, incluso.