Integración de una secuencia de funciones

Question

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow$ $\mathbb{R}$ sea continua y $f(1)=0$ . Demostrar que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_0^1 \! x^nf(x) \, \mathrm{d}x=0.$

Esto es lo que he hecho.

Dejemos que $\epsilon>0$ . Dividir la integral en dos partes.

$\displaystyle\int_0^1 \! x^nf(x) \, \mathrm{d}x$ = $\displaystyle\int_0^{1-\epsilon} \! x^nf(x) \, \mathrm{d}x + \displaystyle\int_{1-\epsilon}^1 \! x^nf(x) \, \mathrm{d}x$ .

Desde $x^n\rightarrow0$ uniformemente en $[0,1-\epsilon]$ la primera integral va a cero cuando tomamos el límite.

Ahora es la segunda integral la que me da problemas. Quería decir que como f es uniformemente continua en $[0,1]$ tenemos que

$\displaystyle\int_{1-\epsilon}^1 \! x^nf(x) \, \mathrm{d}x=\displaystyle\int_{1-\epsilon}^1 \! x^n(f(x)-f(1)) \, \mathrm{d}x<\displaystyle\int_{1-\epsilon}^1 \! \epsilon \, \mathrm{d}x$ para cualquier $x\in[1-\epsilon,1]$ .

¿Es esto cierto? Cualquier sugerencia sería útil. Gracias.

Answer 1

He aquí una prueba más sencilla. Como $f$ es continua por lo que es $|f|$ Por lo tanto $|f|$ alcanza su máximo en $[0,1]$ . Poner $$M = \max\{|f(t)|, t\in [0,1]\}.$$ Entonces tienes $$\int_0^1 |x^n f(x)| dx \le M\int_0^1 x^n\,dx = {M\over n + 1} $$ El último término de la derecha converge a cero como $n\to\infty$ . Su hipótesis de que $f(0) = 1$ no es necesario.

Answer 2

Desde $f$ es continua en el intervalo compacto $[0,1]$ está acotado, digamos $|f|<M$ . Entonces $$| \int_0^1 x^nf(x)dx| \leq \int_0^1 | x^n f(x)dx| \leq M \int_0^1x^ndx=\frac{M}{n+1}$$ que tiende a cero.

Realmente no veo por qué el valor $f(1)$ se da porque no afecta al resultado. La convergencia uniforme tampoco es realmente relevante porque no estás tratando de intercambiar ningún tipo de límites.