Desigualdad con condición similar al lema de Schwarz

Question

Supongamos que $f(z)$ es holomorfa y $|f(z)|\leq 1$ para $|z|\leq 1$ . Demuestre que $$\frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\leq \frac{1}{1-|z|^2}.$$

Si también tengo la condición $f(0)=0$ podría utilizar el Lema de Schwarz para concluir que $|f(z)|\leq|z|$ y $|f'(0)|\leq 1$ . Pero no sé cómo puedo implicar la desigualdad anterior.

Si $f(0)=0$ Quiero definir $g(z)=f(z)-f(0)$ de modo que $g(0)=0$ pero entonces la condición $|g(z)|\leq 1$ para $|z|\leq 1$ no es cierto.

¿Cómo puedo evitar estos problemas?

Answer 1

Quiero definir $g(z)=f(z)−f(0)$

Dicho de otro modo, querías componer $f$ con el automorfismo de $\mathbb C$ que envía $f(z)$ a $0$ . Esta idea sólo necesita un retoque para funcionar: componer $f$ con el automorfismo de el disco de la unidad que envía $f(z)$ a $0$ . A saber, el mapa de Möbius $$\phi(w) = \frac{w-f(0)}{1-w\overline{f(0)}}$$ El lema de Schwarz se aplica a $\phi\circ f$ y produce $|f'(z)|\le |\phi'(f(z))|^{-1}$ que es la desigualdad deseada disfrazada.