Delimitada intervalos en la recta real tienen la propiedad de que cada conectado conjunto abierto es un espacio abierto a la pelota. Me pregunto qué otras métricas espacios tienen esta propiedad. Explícitamente, vamos a decir que $(X,d)$ tiene la Propiedad B, si para cada conectado conjunto abierto $U\subset X$ existe $a\in X$ $r\in \mathbb{R}$ tal que $U=\{x\in X: d(x,a)<r\}$.
Pregunta: es cada conectado espacio métrico con la Propiedad B homeomórficos a un intervalo en $\mathbb{R}$?
Observaciones:
- El recíproco es falso: se homeomórficos a un intervalo de $\mathbb{R}$ no implica la Propiedad B. Para una cosa, $\mathbb{R}$ sí no la propiedad, debido a que $(0,\infty)$ no es una pelota. Por otro, delimitada, por ejemplo, vamos a $X = \{(x,10|x|) : |x|\le 1\} \subset \mathbb{R}^2$ con la inducida por la métrica Euclidiana. Su subconjunto $U= \{(x,10|x|) : 0 < x < 1 \}$ no es una pelota, ya que cualquier bola en $X$ contiene $U$ debe también cruzan la mitad izquierda de $X$.
- El segundo ejemplo del punto 1 también muestra que la Propiedad B no es invariante bajo homeomorphisms.
- Uno podría esperar para una declaración más general donde $X$ no se asume conectado y la conclusión es que es homeomórficos a un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Pero eso sería falso, un contraejemplo de ser un innumerable conjunto con la métrica discreta.
