La Ecuación diferencial con Desplazado a la Entrada

Question

Así que soy bastante nuevo en ecuaciones diferenciales, y mientras retoques en torno a los gráficos, me encontré con uno que me confunde un poco. Tengo tanto de una forma más simple y una forma más complicada. El más simple es:

$$f(x)=f'(x-c)$$

Veo que al $c=0$, una solución es $f(x)=e^x,$ y que al $c=\frac{\pi}{2},$ soluciones se $f(x) = \sin x$ $f(x) = \cos x,$ pero no veo la manera de generalizar a cualquier c. Conceptualmente, considero que esta ecuación como decir que cuando se toma la derivada, la función se desplaza por $c.$

[Editar:

Yo no podía llegar a ninguna parte, asumiendo la función sinusoidal, pero yo era capaz de obtener algunos resultados suponiendo un incremento exponencial:

Si asumimos $f(x) = Ae^{bx}$ donde $A$ $b$ son reales constantes, obtenemos la ecuación

$$Ae^{bx}=Abe^{b(x-c)}$$

Tomando el logaritmo natural de ambos lados y la simplificación de los rendimientos de los siguientes:

$$c=\frac{\ln b}{b}$$

Sin embargo, no puedo entender cómo resolver esto por $b.$ ]

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La forma más complicada es:

$$f(x)=f^{(n)}(x-nc)$$

Esto reduce al caso más sencillo al $n = 1,$ e al$c=\frac{\pi}{2},$, independientemente de $n,$ soluciones son, de nuevo,$f(x) = \sin x$$f(x) = \cos x$. Sin embargo, de nuevo, no veo la manera de generalizar tanto $n$ $c,$ ni cómo determinar si una solución general existe. Conceptualmente, considero que esta ecuación como diciendo que cada vez que usted toma la derivada de una función, que se desplaza en $c$.

Answer 1

Puede que desee ver en el retraso de las ecuaciones diferenciales. Si dejas $t = x-c$ y deje $k=-c$,$x = t-k$, por lo que su ecuación es equivalente a $f^\prime(t)=f(t-k)$. Esta es la quintaesencia de la demora de la ecuación diferencial. Aquí, la derivada en algún momento se ve afectado por el valor en otro momento. El término "retraso" viene del hecho de que generalmente, $k>0$, por lo que la derivada es dependiente de la función de los valores pasados. Si $k<0$, decimos que es una "avanzada" de retraso de la ecuación diferencial, ya que se necesita saber de antemano cuál es el valor futuro será determinar la derivada en el tiempo actual $-$ por lo tanto ¿por qué estos tipos de ecuaciones son mucho más raras en situaciones de la vida real.

La investigación en retraso de ecuaciones diferenciales es muy activo en la actualidad, como las aplicaciones de las redes neuronales y similares, son muy pertinentes hoy en día. Hay algunos recursos que usted puede mirar para familiarizarse con los conceptos básicos (por ejemplo, este breve cuestionario y la lista de referencias al final), pero yo diría que primero se toma el tiempo para dominar las ecuaciones diferenciales sin demoras antes de realmente empezar a profundizar en este material. La mayoría de las personas que estudian el retraso de ecuaciones diferenciales hacerlo después de al menos 2 o 3 semestres de ecuaciones diferenciales ordinarias, y, probablemente, al menos uno de ellos en el nivel de postgrado.

Por supuesto, lo que hemos hecho aquí es ideal para simplemente hurgando, y os animo a seguir hurgando para ver qué se puede encontrar en su propia. Seguir adelante y hacer un poco de investigación de su propia (ahora que usted tiene un punto de partida), pero sólo sé que los obstáculos que en su camino probablemente será vencido por una mayor comprensión fundamental de las ecuaciones diferenciales como un todo.

Answer 2

Observe que $f'$ es una solución para la dimensión de la ecuación de onda: $$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,c)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial c^2}(x,c)$$ Por lo $$u(x,c)=(k_1e^{\lambda x}+k_2e^{-\lambda x})(k_3e^{\lambda c}+k_4e^{-\lambda c})=c_1e^{\lambda(x+c)}+c_2e^{\lambda(x-c)}+c_3e^{-\lambda(x+c)}+c_4e^{-\lambda(x-c)}$$ Donde $k_i,c_i$ son constantes, que pueden ser complejos, y $\lambda$ es una constante que puede ser pura, real o imaginario puro números(debido a que esta ecuación no Describe una ola que puede, y debe, vamos a $\lambda$ ser un número real).

Para estar seguro de que vamos a revisar nuestro resultado con el $3$ ejemplos conocidos se dieron:

Si $c=0$ obtenemos $u(x,c)=k_1e^{\lambda x}+k_2e^{-\lambda x}$, debido a que cualquier $\lambda$ resolver la ecuación de onda, la única cosa que debemos tener en cuenta es la condición de que la anti derivada de $u$$x$$u$, por lo tanto $\lambda=1,k_2=0$ y obtenemos $Ae^{x}$

Vamos a $c$ ser $\pi/2$: $$c_1e^{\lambda(x+\pi/2)}+c_2e^{\lambda(x-\pi/2)}+c_3e^{-\lambda(x+\pi/2)}+c_4e^{-\lambda(x-\pi/2)}$$ Deje $\lambda=i$ conseguir $$c_1\cos(x+\pi/2)+ic_1\sin(x+\pi/2)+c_2\cos(x-\pi/2)+ic_2\sin(x-\pi/2)+c_3\cos(x+\pi/2)-ic_3\sin(x+\pi/2)+c_4\cos(x-\pi/2)-ic_4\sin(x-\pi/2)=A_1\sin(x)+A_2\cos(x)$$ Ahora solo ver sus condiciones iniciales.

Se puede ver que la solución de la ecuación de onda te ofrece un montón de funciones que la mayoría de ellos no resuelve tu ecuación, lamentablemente no tengo una buena manera de encontrar a $\lambda$, también no sé si esto es todas las soluciones o simplemente subconjunto.

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Su suposición de que la función exponencial es muy bueno, pero todavía faltan un montón de soluciones que la explicación anterior mostró, voy a mantener en la búsqueda de (1) es la explicación anterior te da toda la solución (2) si no, lo que los otros son.

Voy a agregar información si encuentro algo

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Permítanme explicar por qué he de crear una nueva función: $u(x,c)$ y de cómo llegué a la solución:

Se preguntó cómo solucionar para $f$$c$$f(x)=f'(x-c)$, no sé cómo resolver este así que la búsqueda de las cosas que yo sé y reconozco que $f'(x-c)$ es similar a algo que yo no sé, si yo lo tengo a $c$ a ser otra variable y crear la nueva función de $u(x,c)=f'(x-c)$ I tiene una función de onda: $$\begin{align}\dfrac{\partial^2 f'(x-c)}{\partial x^2}=\dfrac{\partial \dfrac{d[x-c]}{dx}f''(x-c)}{\partial x}=\frac{d[x-c]}{dx}f^{(3)}(x-c)=f^{(3)}(x-c)\\ \dfrac{\partial^2 f'(x-c)}{\partial c^2}=\dfrac{\partial \dfrac{d[x-c]}{dc}f''(x-c)}{\partial c}=-\frac{d[x-c]}{dc}f^{(3)}(x-c)=f^{(3)}(x-c)\end{align}$$

Para resolver el PDE $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,c)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial c^2}(x,c)$ no es una tarea fácil, pero suponiendo que $u(x,c)=F(x)G(c)$(no voy a explicar por qué podemos asumir que este aquí, si desea leer más acerca de la ecuación de onda) podemos encontrar que: $$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,c)=F''(x)G(c)\\\dfrac{\partial^2 u}{\partial c^2}(x,c)=G''(c)F(x)\\\implies\frac{F''(x)}{F(x)}=\frac{G''(c)}{G(c)}$$ Because every side is depends on a different variable we conclude that those fractions are equal to a constant: $\lambda^2$, with this we get $2$ ODE equations: $$F''(x)-\lambda^2 F(x)=0\\G''(c)-\lambda^2 G(c)=0$$

Después de la resolución de aquellos y la multiplicación de las soluciones que usted conseguirá $$u(x,c)=(k_1e^{\lambda x}+k_2e^{-\lambda x})(k_3e^{\lambda c}+k_4e^{-\lambda c})=c_1e^{\lambda(x+c)}+c_2e^{\lambda(x-c)}+c_3e^{-\lambda(x+c)}+c_4e^{-\lambda(x-c)}$$

Ahora esta parte es nueva, no quería confundido pero @AlexR es en su mayoría a la derecha:

Debido a la linealidad de la solución, se obtiene:

$$u(x,c)=\sum_{\lambda=-\infty}^\infty c_{\lambda,1}e^{\lambda(x+c)}+c_{\lambda,2}e^{\lambda(x-c)}+k_{\lambda,1}e^{i\lambda(x+c)}+k_{\lambda,2}e^{i\lambda(x-c)}$$

De nuevo, esto no responde a tu pregunta porque hay algunas preguntas que no me dio la respuesta, porque no sé la respuesta a ellos, sin embargo

Answer 3

Lo que tienes es un retraso en la ecuación diferencial. Usted puede buscar soluciones en forma de funciones exponenciales como el anterior, pero con la condición añadida de que $b$ puede ser complejo.

La ecuación

$$be^{-bc} = 1$$

es trascendental. La solución existe en la forma de la función W de Lambert, de la siguiente manera

$$-bc e^{-bc} = -c$$ $$-bc = W(-c)$$ $$b = -\frac{1}{c}W(-c)$$

donde $b \in \mathbb C$. Debido a los múltiples valores de propiedad de la compleja función exponencial, existe un número infinito de (complejo) soluciones en $b$ cualquier $c \ne 0, \dfrac{1}{e}$. Usted puede calcular numéricamente.

Ya sabes que $c=0$ da $b=1$. El otro caso especial es en el punto de ramificación de la compleja función W de Lambert, $c = \dfrac{1}{e}$, lo que da $b=e$

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Si usted no está familiarizado con exponenciales complejas, sólo sé que los que abarcan tanto a la real exponenciales reales y funciones trigonométricas, debido a la identidad de Euler $$e^{bx} = e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x} \big(\cos (\beta x) + i\sin (\beta x)\big)$$

donde $\alpha$ $\beta$ son las partes real e imaginaria de $b$, respectivamente. Entonces la ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes $$y(x) = c_1 e^{\alpha x}\cos (\beta x) + c_2 e^{\alpha x}\sin (\beta x)$$

para cualquier no-real $b$