La gráfica de $x^{n}+y^{n}=r^{n}$ para suficientemente grande $n$

Question

La gráfica de la función $x^{n}+y^{n}=r^{n}$ para ciertos valores de $n$ parece sospechosamente a una plaza.

Ver esta página de wolframalpha. Resultados ha demostrado con respecto a esta observación? ¿Cómo llamamos a esta figura de todos modos?

Answer 1

Sólo han redescubierto el max-norma.

Más precisamente, han señalado que como $p$ se hace más grande, el círculo unidad en el $l_p$ norma similar y similar a la de la $l_\infty$ norma.

Answer 2

A veces se llama un superellipse - ver, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Superellipse

Answer 3

Por simetría, se puede considerar la ecuación de $y^n+x^n=r^n$$0 \leq x \leq r$. Reescribir como $$ y(x) = \sqrt[n]{{r^n - x^n }} = \sqrt[n]{{r^n - r^n \bigg(\frac{x}{r}\bigg)^n }} = r\sqrt[n]{{1 - \bigg(\frac{x}{r}\bigg)^n }}, $$ para $0 \leq x \leq r$. Esto demuestra que $y$ es estrictamente decreciente de $r$ $0$ $x$varía de $0$$r$, respectivamente, y que la secuencia de funciones de $y(x) = y_n (x)$ converge pointwise, como $n \to \infty$, a la función de $f$ definido por $f(x)=r$ si $0 \leq x < r$$f(r)=0$; por otra parte, la convergencia a $f$ es uniforme para $x \in [0,a]$, para cualquier $0 < a <r$ (pero no de $x \in [0,r]$, ya que el $y(r)=0$). Esto explica la forma cuadrada.