Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función continua tal que para todos los $x$ tenemos $$f(f(x))+f(x)=x^4+3x^2+3,$$ probar que para todo $x \in \mathbb{R}$, $f(-x)=f(x)$.
Me di cuenta de que $f$ no puede tener puntos fijos. Si había uno, decir $t$, tendríamos $$0=t^4+3t^2-2t+3=(t^2+1)^2+(t-1)^2+1$$ which is impossible. So, since $f$ is continuous, we either have $f(x)<x, \: \forall x \in \mathbb{R}$ or $f(x)>x, \: \forall x \in \mathbb{R}$. Si la primera fuera cierto, entonces tendríamos $$x^4+3x^2+3=f(f(x))+f(x)<f(x)+x<2x, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ lo cual es absurdo. Por lo $f(x)>x, \: \forall x \in \mathbb{R}$.
Usando esto y el hecho de que $x^4+3x^2+3$ es estrictamente creciente en a $[0, \infty)$ y estrictamente decreciente en a $(-\infty,0]$, me las arreglé para demostrar que $f$ es estrictamente creciente en a $[0, \infty)$ y estrictamente decreciente en a $(-\infty, 0]$. Aquí es donde me quedé atrapado.
Edit: creo que he hecho algún progreso. Supongamos que no es $x_0$ tal que $f(x_0)<0$. A continuación, llegamos $0>f(x_0)>x_0$ y desde $f$ es estrictamente decreciente en a $(-\infty,0]$ significa que $f(0)<f(x_0)<0$, lo que contradice $f(0)>0$. Por lo $f(x) \geq 0, \: \forall x \in \mathbb{R}$
Ahora, supongamos $f(x)>f(-x)>0$$x \neq 0$. A continuación, $f(f(x))>f(f(-x))$ y sumando los rendimientos de una contradicción con la hipótesis. Lo mismo sucede si suponemos $0<f(x)<f(-x)$. Por lo $f(x)=f(-x), \: \forall x \in \mathbb{R}$.
