Si $f(f(x))+f(x)=x^4+3x^2+3$, demuestran que, a $f$ es incluso

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función continua tal que para todos los $x$ tenemos $$f(f(x))+f(x)=x^4+3x^2+3,$$ probar que para todo $x \in \mathbb{R}$, $f(-x)=f(x)$.

Me di cuenta de que $f$ no puede tener puntos fijos. Si había uno, decir $t$, tendríamos $$0=t^4+3t^2-2t+3=(t^2+1)^2+(t-1)^2+1$$ which is impossible. So, since $f$ is continuous, we either have $f(x)<x, \: \forall x \in \mathbb{R}$ or $f(x)>x, \: \forall x \in \mathbb{R}$. Si la primera fuera cierto, entonces tendríamos $$x^4+3x^2+3=f(f(x))+f(x)<f(x)+x<2x, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ lo cual es absurdo. Por lo $f(x)>x, \: \forall x \in \mathbb{R}$.

Usando esto y el hecho de que $x^4+3x^2+3$ es estrictamente creciente en a $[0, \infty)$ y estrictamente decreciente en a $(-\infty,0]$, me las arreglé para demostrar que $f$ es estrictamente creciente en a $[0, \infty)$ y estrictamente decreciente en a $(-\infty, 0]$. Aquí es donde me quedé atrapado.

Edit: creo que he hecho algún progreso. Supongamos que no es $x_0$ tal que $f(x_0)<0$. A continuación, llegamos $0>f(x_0)>x_0$ y desde $f$ es estrictamente decreciente en a $(-\infty,0]$ significa que $f(0)<f(x_0)<0$, lo que contradice $f(0)>0$. Por lo $f(x) \geq 0, \: \forall x \in \mathbb{R}$

Ahora, supongamos $f(x)>f(-x)>0$$x \neq 0$. A continuación, $f(f(x))>f(f(-x))$ y sumando los rendimientos de una contradicción con la hipótesis. Lo mismo sucede si suponemos $0<f(x)<f(-x)$. Por lo $f(x)=f(-x), \: \forall x \in \mathbb{R}$.

Answer 1

Ya que han demostrado que $f$ es estrictamente creciente en a$[0, +\infty)$, $$f(f(x)) + f(x) = x^4 + 3x^2 + 4 \quad (\forall x > 0)$$ no es difícil demostrar por contradicción que $$\lim_{x \+\infty} f(x) = +\infty.$$ De forma análoga, $$\lim_{x \a\infty} f(x) = +\infty.$$

Ahora para cualquier $x > 0$, ya que el $f$ es continua, $f(x) > f(0)$, e $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ existe $y < 0$ tal que $f(y) = f(x)$. Por lo tanto, $$x^4 + 3x^2 + 3 = f(f(x)) + f(x) = f(f(y)) + f(y) = y^4 + 3y^2 + 3.$$ Tenga en cuenta que $x > 0 > y$ e $$0 = (x^4 + 3x^2 + 3) - (x^4 + 3y^2 + 3) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2 + 3),$$ por lo tanto,$y = -x$. Por lo tanto $f(x) = f(-x)$.

Answer 2

La expresión de la derecha es de un grado de cuatro polinomio. Esto significa que f(x) tiene que ser un polinomio de grado dos (ya que la expresión de la izquierda tiene el plazo $f(f(x))$).

Deje $f(x) = ax^2+bx+c.$

Entonces la pregunta equivale a probar que $b = 0$ (como el polinomio entonces será aún).

La evaluación de la expresión

${a(ax^2+bx+c) + b(ax^2+bx+c) + c} + ax^2+bx+c = x^4 + 3x^2 + 3$,

El coeficiente de $x^3$ $x$ en el lado izquierdo debe ser $0$ durante los dos expresiones son iguales.

En la resolución, $a = 1, b = 0$ $c = 1.$

Desde $b = 0$, $f(x)$ es incluso.

Por lo tanto, $f(x) = x^2 + 1 = f(-x)$.