Son el área de los triángulos comparable a la longitud total de sus bordes?

Question

Estoy teniendo problemas con mi tarea. Estaré encantado si me puedes ayudar.

Todas las aristas de triángulo $ABC$$<1$, y en los bordes del triángulo $DEF$$>100$. Puede que el área del triángulo $ABC$ ser posiblemente más grande que el área del triángulo $DEF$?

He intentado usar la fórmula de la Garza y otras fórmulas del área del triángulo, pero no puedo conseguir nada... ¿tienes alguna idea?

Answer 1

En esta foto, lado de la $\overline{PQ}$ es paralela a la línea $\ell$. Eso significa que los triángulos $\overline{PQR_1}$, $\overline{PQR_2}$, y $\overline{PQR_3}$ todos tienen una altitud de $h$. Escoger el derecho de punto, $R_n$ en la línea $\ell$, podemos hacer que los lados $\overline{PR_n}$ $\overline{QR_n}$ tanto tiempo como deseemos y, sin embargo, el área del triángulo $\overline{PQR_n}$ siempre va a ser $\frac 12 Bh$

Eso significa que, si usted hace la altitud, $h$, lo suficientemente pequeño, puede hacer que el área del triángulo $\overline{PQR_n}$ tan pequeño como usted desea.

Answer 2

Si usted toma cualquiera de los dos lados de un triángulo dado, a decir de longitudes $a$$b$, y deje $\theta$ el valor de la medición del ángulo entre ellos, entonces la fórmula $\displaystyle \frac{1}{2}ab \sin(\theta)$ da el área de ese triángulo$^\dagger$. Observe que los siguientes son verdaderas:

• Se puede variar el ángulo de $\theta$, mientras que el mantenimiento de las longitudes de dos de los lados fijos (ver el diagrama abajo).
• El lado cuya longitud varía a medida que variamos $\theta$ sólo se puede obtener tan grande debido a la desigualdad de triángulo.
• $\theta$ pueden ser arbitrariamente pequeño. ¿Qué $\sin(\theta)$ parece como $\theta \rightarrow 0$?

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$^\dagger$ , Se pueden encontrar más de discusión aquí.

Answer 3

Sí que puede ser. Si hacemos un ángulo de $DEF$ tienden a $180^\circ$, entonces el área tiende a cero.

Answer 4

Elegir un triángulo equilátero de $ABC$ integrado en la unidad de lado.

Elegir un obtusue triángulo, estrecho y la aguja como, por $ DEF $ dicen cuyos lados son $ (120,120,239) $ $\sin A$ $\Delta= \frac12 bc \sin A$ influencias $DEF$ a a ser insignificante en la zona en comparación con $ABC$.