Equivalance de surjections de una superficie de grupo a un grupo de

Question

Deje $g \geq 2$. Deje $S = \langle a_1,b_2,...,a_g,b_g | [a_1,b_1] \cdots [a_g,b_g] \rangle$ ser el grupo fundamental de un género $g$ de la superficie y deje $F_g$ ser un grupo libre con $g$ generadores. Dadas dos surjections $f_1,f_2 : S \to F_g$ hay una manera para determinar si hay automophisms $\phi: S \to S$$\psi: F_g \to F_g$, de modo que $f_1 = \phi \circ f_2 \circ \psi$?

Answer 1

Reducción de problema, pero no una respuesta:

Supongamos $N=\ker f_1 = \ker f_2$. A continuación, $f_1$ $f_2$ tanto inducir isomorphisms, $f_1' : S/N\to F_g$$f_2' : S/N\to F_g$. A continuación, $\phi =f_1'f_2^{\prime -1}$ es un automorphism de $F_g$, e $f_1=\phi f_2$. Por lo tanto sólo tenemos que encontrar una automorphism $\psi$ $S$ de los que tomaron $\ker f_1$$\ker f_2$, desde entonces tendremos $\ker f_2\psi = \ker f_1$. Por lo tanto el resultado deseado es verdadera si y sólo si el automorphism grupo de $S$ actúa transitivamente sobre normal subgrupos $N$$S$$S/N \cong F_g$.

No estoy seguro de cómo probar que la automorphism grupo realiza o no actúa transitivamente sobre dichos subgrupos, aunque.