(Yo nunca había pensado en esta pregunta antes, y quiero grabar la respuesta básica aquí para referencia en el futuro)
Deje $A$ C$^*$-álgebra, y $x,y\in A$. Cuando tenemos la igualdad en la desigualdad de triángulo? $$\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Studer
Puntos
1050
Dado $x,y\in A$, resulta que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$
(ii) no existe una norma en-uno lineal funcional $f$ tal que $f(x)=\|x\|$, $f(y)=\|y\|$
(iii) existe un estado de $g$ tal que $g(x^*y)=\|x\|\,\|y\|$
Prueba.
(i)$\implies$(ii) Vamos a $f$ ser una norma-una funcional lineal tal que $f(x+y)=\|x+y\|$. Entonces $$ f(x)+f(y)=f(x+y)=\|x+y\|=\|x\|+\|y\|.$$As we also have $|f(x)|\leq\|x\|$ and $|f(y)|\leq\|y\|$, it follows that $|f(x)|=\|x\|$, $|f(y)|=\|y\|$. As $$f(x)+f(y)=f(x+y)=\|x+y\|=\|x\|+\|y\|=|f(x)|+|f(y)|,$$ we deduce that $f(x)=|f(x)|=\|x\|$, $f(y)=|f(y)|=\|y\|$.
(ii)$\implies$(iii), Véase más abajo para la existencia del valor absoluto $g$ funcional de la $f$. Tenemos, mediante la Schwarz desigualdad, \begin{align} \|x\|^2+\|y\|^2+2\|x\|\,\|y\|&=(\|x\|+\|y\|)^2=f(x+y)^2=|f(x+y)|^2\\ \ \\ &=|g(v(x+y))|^2\\ \ \\ &\leq g((x+y)^*v^*v(x+y))\leq g((x+y)^*(x+y))\\ \ \\ &=g(x^*x)+g(y^*y)+2\operatorname{Re}g(x^*y)\\ \ \\ &\leq \|x\|^2+\|y\|^2+2|g(x^*y)|. \end{align} Entonces tenemos $$ \|x\|\,\|s\|\leq|g(x^*y)|\leq \|x\|\,\|s\|, $$ impliying la igualdad. A partir de las desigualdades por encima de nosotros también te $|g(x^*y)|=\operatorname{Re}g(x^*y)$, lo $|g(x^*y)|=g(x^*y)$.
(iii)$\implies$(i) Tenemos, el uso de Cauchy-Schwarz, \begin{align} \|x\|^2\|y\|^2=|g(x^*y)|^2\leq g(x^*x)g(y^*y)\leq\|x\|^2\,\|y\|^2. \end{align} Así $g(x^*x)=\|x\|^2$, $g(y^*y)=\|y\|^2$. Entonces \begin{align} (\|x\|+\|y\|)^2 &=\|x\|^2+\|y\|^2+2\|x\|\,\|y\| =g(x^*x)+g(y^*y)+2g(y^*x) =g((x+y)^*(x+y))\\ \ \\ &\leq \|(x+y)^*(x+y)\| =\|x+y\|^2. \end{align} Por lo $\|x\|+\|y\|\leq\|x+y\|$, y la otra desigualdad es la desigualdad de triángulo.
Valor absoluto de un funcional
Dado un delimitada lineal funcional $f$$A$, podemos ver $f$ como normal funcional en el doble doble de la $A''$ y realizar la descomposición polar de $f$. En otras palabras, existe una positiva funcional $g$ $A$ (un estado, ya que $\|f\|=1$) tal que $f=g(v\cdot)$ para una isometría parcial $v\in A''$.
