Canica de vidrio en un avión

Question

Hay un vaso de mármol parado en una absolutamente suave superficie plana. Suponiendo condiciones ideales, el mármol toca la superficie en un solo punto O (O es un punto en el plano). Nos llevamos el mármol y volver a ponerlo para que se detiene en el mismo punto O. Es posible encontrar una orientación, de tal manera que no hay un solo punto en la superficie de mármol se encuentra en el mismo coordenadas 3d como antes?

Mi intento: Si hacemos girar el mármol por la mitad de un círculo, en un gran círculo que pasa a través del punto de contacto? Y esto es sólo por la intuición.

Answer 1

Esto no es posible para el 3-dimensional de los mármoles.

Se puede demostrar (vea el de Euler, rotación del teorema) que cualquier re-orientación del mármol puede ser considerado como una sola rotación alrededor de un eje por un cierto ángulo. Cualquier punto de mármol que había en el eje antes de la re-orientación, será en el mismo lugar después.

Más formalmente: debido a la re-orientación preserva distancias, cualquier re-orientación de la marbe está dada por una matriz ortogonal $O$ (este incluso incluyen la creación de reflejo de mármol). Se sabe que dicha matriz tiene un verdadero vector propio para el autovalor $1$. Cualquier punto en el mármol que se encuentra en el lapso de este autovector permanecerá fijo durante la re-orientación.