Hacer decidable propiedades de finitely presentado los grupos dependen sólo de la profinitization?

Question

Esto es sólo por diversión, pregunta inspirada por este. Deje $P$ ser una propiedad de finitely presentable grupos. Supongamos que

1. La verdad de $P(G)$ sólo depende del isomorfismo clase de $G$.

2. Dado un número finito de presentación de $G$, la verdad de $P(G)$ es computable.

Deje $\hat{G}$ denotar la profinite finalización de $G$. Es posible tener grupos de $G$$H$, y una propiedad de $P$, por lo que el $\hat{G} = \hat{H}$ pero $P(G) \neq P(H)$?

Por ejemplo, hay un computable de los bienes que separa Higman del grupo de la trivial grupo?

Answer 1

En este papel, Owen Algodón-Barratt y construyo dos finitely presentable grupos con isomorfo profinite de las sugerencias, pero de tal manera que uno es conjugacy separables (lo que implica solucionable conjugacy problema) y el otro tiene irresoluble conjugacy problema.

(La construcción es muy en el espíritu del papel de Bridson que Daniel Olivares se menciona en los comentarios.)

EDITAR:

Lo siento, sólo me di cuenta de requisito 2. Ya casi no hay propiedades son computables a partir de un número finito de presentación, y sin embargo la clase de propiedades computable a partir de un número finito de presentación es misterioso (por ejemplo, no se incluyen tener una adecuada finito-índice subgrupo?), No veo cómo vas a conseguir interesantes respuestas con la condición 2.

ADEMÁS DE EDITAR:

Como Bjorn me explicó que en los comentarios a la respuesta de David, no es tan difícil como yo pensaba construir dos fp grupos con el mismo profinite finalización. De hecho, no hay prácticamente abelian ejemplos. Como se puede resolver el problema de isomorfismo para prácticamente abelian grupos, se deduce que existen ejemplos de computable propiedades que no están determinadas por la profinite conclusión, como David de la respuesta de la muestra.

Answer 2

Es decidable de una presentación o no de un grupo es grande, es decir, admite un homomorphism en el nonabelian libre grupo de dos letras? Esto parece totalmente improbable, y que seguramente cualquiera de Henry o Daniel sabe, pero me gusta el siguiente teorema de todos modos, así que voy a anunciar. Lackenby mostró (`la Detección de grandes grupos", GR/0702571) que magnitud es una propiedad de la profinite finalización de discretos finitely presentan grupos.

Answer 3

OK, creo que tengo un ejemplo de dos grupos con el mismo profinitization y una computable de la propiedad que los distingue. El punto es que es muy fino detalle sobre el colector de subgrupos no puede ser visto en la profinitization.

Deje $q$ ser el primer y deje $K$ $q$- th cyclotomic campo. Elija $q$ de manera tal que el grupo de clase de $K$ no es trivial. Deje $I$ ser trivial ideal de $\mathcal{O}_K$ $J$ un trivial ideal. Nuestros grupos $G$$H$$(\mathbb{Z}/q) \ltimes I$$(\mathbb{Z}/q) \ltimes J$.

Para cualquier grupo de $B$, vamos a $B' = [B,B]$$B'' = [B', B']$. Tenga en cuenta que $B/B'$ actúa en $B'/B''$ por conjugación. Nuestro computable criterio es el siguiente:

$B/B' \cong \mathbb{Z}/q \times \mathbb{Z}/q =: A$, la acción del anillo de grupo $\mathbb{Z}[A]$ $B'/B''$ factores a través de un mapa de $\mathbb{Z}[A] \to \mathcal{O}_K$ y, como tal, $B'/B''$ es un servicio gratuito de $\mathcal{O}_K$ módulo.

Dejamos como ejercicio que $G$ cumple esta condición y $H$ no.

Yo creo que esta condición debe ser computable. Podemos ir a partir de un número finito de presentación de $B$ a uno de $B'$. (ACTUALIZACIÓN he revisado este argumento.) Abelianizations son computables, por lo que podemos comprobar si $B/B'$ tiene el formato correcto. Si lo hace, entonces el $B'$ ha finito índice en $B$. Creo que podemos utilizar esto para obtener un número finito de presentación de $B'$: Vamos a $\Delta$ ser bidimensional $CW$-complejo con un vértice, un borde para cada generador de $B$ y una de dos celdas para cada relación. Deje $\Delta'$ ser la portada de la $B$ correspondiente a $B'$. Desde $B$ ha finito índice en $B'$, $\Delta'$ tendrá un número finito de células, y tenemos un número finito de presentación de $B'$.

Podemos calcular el abelianization de $B'$ y, creo, la acción de la abelianization de $B$ a de $B'$ debe ser computable. Tenga en cuenta que sólo hay $q^2$ mapas de$\mathbb{Z}[A]$$\mathcal{O}_K$, por lo que podemos comprobar cada uno de ellos a su vez. La clase de un determinado módulo generado por un dominio de Dedekind debe ser computable por el estándar de la teoría de los números métodos, aunque tengo que admitir que no podía describir.

El hecho de que estos dos grupos tienen el mismo profinitization es relativamente bien conocida. Deje $\hat{I}$ $\hat{J}$ denotar la profinite terminaciones de $I$$J$. El profinite terminaciones de $G$$H$$\mathbb{Z}/n \ltimes \hat{I}$$\mathbb{Z}/n \ltimes \hat{J}$.

Podemos identificar a $\hat{I}$ $\hat{J}$ con submódulos de $\mathbb{A}^0_K$, la integral adeles de $K$. Desde $I$ $J$ son localmente principal, estos son los principales ideales en el anillo de $\mathbb{A}^0_K$. Son, por tanto, equivalente como $\mathbb{A}^0_K$ módulos, y por lo tanto como $\mathcal{O}_K$ módulos.