En general, ¿qué técnicas se pueden utilizar para mostrar que los 2 grupos no isomorfos?

Question

Decir que tengo 2 grupos de $G$$H$, ¿qué técnicas se pueden utilizar para mostrar que no son isomorfos?

Uno sencillo que se me ocurre es probar que el orden es diferente, lo que demuestra que no puede haber un bijection entre los 2. Sin embargo estoy interesado en otros enfoques como bien.

Answer 1

Busque cualquier diferencia en los grupos tales como

1. Orden de los grupos.
2. Un grupo tiene un elemento de orden $n$, y el otro no tiene un elemento de orden $n$.
3. Un grupo tiene un subgrupo de orden $n$, y el otro no.
4. Los pedidos de los centros de los grupos son diferentes.
5. Un grupo Abelian, el otro no lo es.
6. Un grupo es cíclica, es decir, el otro no lo es.

Answer 2

El Grupo de Isomorfismo problema para finitely presentable grupos es indecidible. La restricción para grupos finitos, el problema es, sin duda decidable, con el trivial algoritmo de enumerar todas las $n!$ permutaciones (asumiendo, por supuesto, los dos grupos tienen el mismo orden).

Si la entrada de grupos de $G, H$ son dados por sus tablas de Cayley (que es un generoso asunción), podemos mejorar el obligado a $n^{O(\log(n))}$, de la siguiente manera. En primer lugar, observe que para un grupo de $G$ orden $n$, existe un generador de tamaño $\log_{2}(G)$. Para ver esto, consideremos el siguiente algoritmo:
-Establecer $K := \emptyset$.
-Mientras que $\langle K \rangle \neq G$, seleccione $g \in G \setminus \langle K \rangle$, y agregar$g$$K$.

Cada nuevo elemento que añadir a $K$ al menos duplica el tamaño de $\langle K \rangle$. Por lo $|K| = \log_{2}(n)$.

Como $\langle K \rangle = G$, tratamos de estudiar los elementos de la $K$ a un generador de $H$. Hay $|H|^{|K|} = n^{\log(n)}$ tales funciones. Contabilidad para algunos sobrecarga en la prueba de tales funciones, podemos lograr la $n^{O(\log(n))}$ unido. Esta obligado ha sido relativamente ileso, a pesar de que varias clases de grupos han polinomio tiempo de los algoritmos para el problema de isomorfismo. Algunas de estas clases incluyen abelian grupos (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022000007000293), los grupos sin abelian normal subgrupos (https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-31594-7_5), y los grupos con abelian Sylow torres (http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/3400/).

Answer 3

Estrategia General: encontrar algunos invariantes que es diferente para un grupo que en el otro. Usted puede mirar en el número de elementos de cada orden, las órdenes de la parte superior e inferior central de la serie, etc.

Answer 4

Una forma común es establecer que un grupo tiene un elemento de orden que el otro grupo no.