Puede que los números $1,2,...,n^2$ ser escrito en las células de un a $n\times n$ junta de tal manera que dos números consecutivos son adyacentes a las células (intercambio de un lado), y todos los cuadrados perfectos son en la misma columna?
Nota: El problema original viene de Toda rusia Matemáticas Olimpiada de 1995 (cuarta ronda, en la pregunta 8) para el caso especial donde $n=11$.
Contando el número de células en el lado izquierdo y derecho de la columna sabemos que para un número impar $n$, no hay un acuerdo satisfactorio esas condiciones. Tan sólo tenemos que considerar el caso en que $n$ es incluso.
Para $n=4k+2$ podemos hacer explícita la construcción, pero la escritura es claramente puede ser difícil. Para $n=4k$, parece que no hay ningún acuerdo. Sin embargo, no tengo idea de cómo demostrarlo.
Alguien puede resolver completamente la caja donde $n$ es aún?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El $n=10$ caso de hecho puede ser utilizado para demostrar que todo lo $n=4k+2$ se puede hacer:
La línea que sigue los números en orden ascendente sólo barre hacia atrás y adelante en la repetición de una gran letra 'C' patrón, y después de que el último barrido a la derecha de fondo 'serpientes', y luego se va a la izquierda para terminar en $n^2$. Me doy cuenta de que esta imagen no es una matemática rigurosa prueba, pero se puede hacer fácilmente por inducción. Ah, y por cierto, este modelo funciona para $n=6$ como bueno, y supongo que si expresamos el patrón de una manera inteligente, podríamos incluso encontrar $n=2$ un ejemplo de que el modelo, a pesar de que el caso en sí es trivial.
En cuanto al $4k$ pasa: estoy bastante seguro de que el de arriba es realmente la única manera de hacer este trabajo (modulo simetrías de curso) para la $4k+2$; antes de publicar la foto de la $n=10$ yo ya había llegado a la conclusión de que esa era la única manera de hacerlo. El $4k$ caso va a ser lo mismo restringidos en la forma de proceder de la línea, y estoy convencido de que, efectivamente, no va a trabajar allí. Si tengo algo más de tiempo, yo en realidad puede intentar generar el argumento.
