Estimación de $|S_n(x)|=\left|\sum _{k=1}^n \frac{\cos (2\pi \lambda_k x)}{\lambda_k}\right|$.

Question

Se sabe que existe una constante $C\geq 0$ tal que para todo $n\geq 1$ : $$|S_n(x)|=\left|\sum _{k=1}^n \frac{\cos (2\pi kx)}{k}\right| \leq C -\log |\sin (\pi x)|, \quad \forall x\in (0,1]. $$ Véase, por ejemplo: Mostrar que $|\sum _{j=1}^n \frac{\cos (2\pi jx)}{j}| \leq C -\log |\sin (\pi x)|$.

Ahora, si $\lambda_k$ es una secuencia de números reales tales que a $\lambda_k-\lambda_{k-1}\geq \gamma>0$ hay una estimación similar para $$|S_n(x)|=\left|\sum _{k=1}^n \frac{\cos (2\pi \lambda_k x)}{\lambda_k}\right|?$$

Answer 1

Primero de todo, en el original estimar el intervalo (0, 1 ) en lugar de (0, 1] debido a que la serie en x = 1 no es diferente de x = 0 y se aparta.

De todos modos, la respuesta acerca de la estimación en (0, 1), por supuesto, es no. Vemos a $\cos(2π λ_k x)$ en el numerador (es un error?), y la elección de un arbitrario 0 < p < 1 y $λ_k := k/q$ causas de la serie diverge en x = p que pertenece a (0, 1). Supongo que, en cierto cartel original de la intención era

$$|S_n(x)|=\left|\sum _{k=1}^n \frac{\cos (2\pi k x)}{λ_k}\right|?$$

para los que no sé la respuesta.