Demostrar que todos los valores son cero

Question

Supongamos $\lambda_{1,\cdots,n}\in\Bbb C$ y para todas las $m\in\Bbb N_+$ hemos $$\sum_{i=1}^n \lambda_i^m=0.$$ Probar que todos los $\lambda_i$ son cero.

Hay alguna facilidad, que no juega con manipulaciones algebraicas como polinomios simétricos o de Vandermonde determinantes? Una analítica, enfoque sería preferido (por ejemplo, observar las ecuaciones como $m$ tiende a infinito). Gracias!

Answer 1

No sé si esto es aceptable para usted, ya que utiliza polinomios. Es la forma más natural para mí. Dado cualquier polinomio $p$$p(0)=0$, yo.e, $p(z)=\sum_{k=1}^ra_kz^k$, tenemos $$\tag1 \sum_{j=1}^np(\lambda_j)=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^ra_k\lambda_j^k=\sum_{k=1}^ra_k\left(\sum_{j=1}^n\lambda_j^k\right)=0. $$ En particular, si $\lambda_j\ne0$ algunos $j$ podemos optar $p$ $p(0)=0$ $p(\lambda_j)=1$ todos los $j$ tal que $\lambda_j\ne0$. Pero entonces el lado izquierdo en $(1)$ sería positivo, dando una contradicción. Por lo $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$.

El anterior también muestra que es suficiente para tener el igualdades a a $m=n$, o incluso menos si hay repeticiones en la lista.