La simple definición:
Un espacio topológico $X$ es compacto si toda cubierta abierta de a $X$ tiene un número finito de sub-cubierta;
resulta ser bastante central en la topología. Parece que una vez que se nos ha concedido la compacidad del espacio en la mano, un montón de cosas buenas que se pueden decir y hacer al respecto, pero no estoy exactamente seguro de por qué? Muchas gracias.
Algunos ejemplos de la utilidad de la compacidad, a raíz de lo que James Fennell dijo:
Una de las más importantes consecuencias de ello es que (en un espacio métrico) compacidad implica la compacidad secuencial: cada secuencia en el espacio tiene una larga que converge en ese espacio. Además, algunos teoremas puede ser probado por primera probando compacto conjuntos (lo cual es fácil) y que se extiende hasta más general de conjuntos. Compacidad implica una serie de otros resultados de utilidad, por ejemplo, funciones continuas en un conjunto compacto son uniformemente continuas.
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