Los relojes en la relatividad especial

Question

Un libro sobre relatividad especial dice:

Cualquier observador en reposo con respecto a su propio reloj verá que otros relojes que se mueven con respecto a él van deprisa - cuanto mayor es su velocidad, más deprisa van.

Otro libro dice:

Los observadores miden el retraso de cualquier reloj si se mueve con respecto a ellos.

¿No se contradicen? En caso afirmativo, ¿quién tiene razón? En caso negativo, ¿por qué ambas tienen razón? Supongo que es una pregunta muy de novato, pero la relatividad es uno de los temas en los que vuelves a comprobar cada afirmación una y otra vez, así que quiero estar seguro.

Answer 1

En el primer libro que enlazaste en los comentarios, creo que el autor está tratando de decir que si un observador ajusta su reloj por un reloj en una estación de tren, luego se sube a un tren y viaja a otra estación de tren, se dará cuenta de que su reloj es lento en comparación con el reloj de la estación.

Esto es cierto porque, para desplazarse de una estación a otra, el ciclista debe acelerar. Durante la aceleración, el reloj de la estación parecerá ir mucho más deprisa, y durante la parte del viaje a velocidad constante (si la hay) el reloj de la estación irá más despacio.

Estos notas de clase hacen un buen trabajo explicando cómo funciona la aceleración en la RS.

Answer 2

He aquí una explicación básica y bastante heurística. Al observar la velocidad a través del espaciotiempo con respecto al tiempo de la persona que realiza el viaje, (la persona que salió del marco de la estación de tren), podemos utilizar algo llamado velocidad propia. La velocidad propia es la distancia que recorres medida en el marco de la estación de tren (el marco al que finalmente volverás), dividida por el tiempo en tu marco en movimiento (llamado tiempo propio), $\tau$ ).

La magnitud de su velocidad propia con respecto a un marco dado se fija en c, la velocidad de la luz. Si estás sentado en reposo en el marco, te precipitas a través de la dimensión temporal a la velocidad de la luz. Cuando empiezas a aumentar tu velocidad en el espacio, tu velocidad en el tiempo con respecto al marco fijo de la estación de tren disminuye. Todo el tiempo que te mueves a esta velocidad incrementada a través del espacio, la estación de tren se está moviendo a través de su dimensión del tiempo más rápidamente que tú. Este es un punto importante:

La aceleración importa en el sentido de que cambias tu velocidad a lo largo del tiempo en relación con la estación de tren, pero el intervalo en el que permaneces a la nueva velocidad importa tanto o más. Esto se detalló en un artículo bastante reciente de AJP[2].

En cuanto a su pregunta original... veamos. Como es habitual en las paradojas físicas, todo el mundo tiene razón. He aquí mi interpretación a lo Cinton de las dos afirmaciones anteriores. Depende de lo que signifique la palabra "observador". En la primera afirmación, el observador es el viajero. Se nota porque está en reposo con respecto a su propio reloj y preocupado por el reloj de la estación de tren. Este comentario grita 'tiempo propio' y 'velocidad propia' una vez que has visto suficientes de estos artículos/libros. Además, L&L son bigtime en la velocidad propia del espaciotiempo, que verás escrita como dos vectores un poco más adelante en el texto. No tengo mi copia aquí, pero tienden a centrarse en la velocidad propia.

El observador de la segunda afirmación es el "observador" habitual de la relatividad especial utilizado en la mayoría de los textos. Permanece en la estación de tren y mide todo con respecto a la distancia de su marco y al tiempo de su marco. Si pudiera ver mágicamente tu reloj, entonces sí, se movería más despacio que el suyo. Puede comprobar con certeza que tu reloj va más despacio si vuelves.

Espero que esto ayude ya que divagaba un poco y no incluía mucho de la matemática subyacente en absoluto. Si desea entrar en ese aspecto de la misma, o si tiene alguna otra pregunta, por favor hágamelo saber.

Referencias

1. Geometrización de la fórmula de adición de la velocidad relativista, Robert W. Brehme, Citation: Am. J. Phys. 37, 360 (1969); doi: 10.1119/1.1975576, Ver en línea: http://dx.doi.org/10.1119/1.1975576

2. Zero time dilation in an accelerating rocket, Ronald P. Gruber y Richard H. Price, Citation: Am. J. Phys. 65, 979 (1997); doi: 10.1119/1.18700 Ver en línea: http://dx.doi.org/10.1119/1.18700

Answer 3

¿No se contradicen?

Bueno, si ambas declaraciones se interpretan con simpatía (y ambas son tan cortas y están tan mal redactadas que pueden utilizar mucho de interpretación comprensiva), entonces se podría decir que son coherentes entre sí y que se refieren a la misma situación experimental bastante simple, descrita desde perspectivas opuestas:

Tenemos dos participantes, digamos $A$ y $B$ y otro participante, $J$ que se trasladó de $A$ a $B$ uniformemente, con rapidez $\beta~c$ . (Esta breve descripción es suficiente para describir el montaje sin ambigüedades).

Correspondiendo a estos tres participantes en esta configuración hay tres duraciones de particular relevancia:

• la duración de $A$ de $A$ 's (propia) indicación de haber sido abandonado por $J$ hasta $A$ (propia) indicación simultánea a $B$ de haber sido recibido por $J$ simbólicamente: $\tau A[ \circ_J, \circledS B_J ]$ ,

• la duración de $B$ de $B$ (propia) indicación simultánea a $A$ de haber sido abandonado por $J$ hasta $B$ 's (propia) indicación de haber sido satisfecha por $J$ simbólicamente: $\tau B[ \circledS A_J, \circ_J ]$ y

• la duración de $J$ de $J$ 's (propia) indicación de haber sido abandonado por $A$ hasta $J$ 's (propia) indicación de haber sido satisfecha por $B$ simbólicamente: $\tau J[ \circ_A, \circ_B ]$ .

Obviamente (debido a $A$ y $B$ estando en reposo entre sí)

$$ \tau A[ \circ_J, \circledS B_J ] = \tau B[ \circledS A_J, \circ_J ];$$

y no es difícil deducir (apelando a las nociones de "reposo mutuo" y de "duración" y "velocidad", tal como se definen en la teoría de la relatividad) que

$$ \tau J[ \circ_A, \circ_B ] = \sqrt{1 - \beta^2} \times \tau A[ \circ_J, \circledS B_J ];$$

y por lo tanto (debido a $0 \lt \beta^2 \lt 1$ )

$$ \tau J[ \circ_A, \circ_B ] \lt \tau A[ \circ_J, \circledS B_J ].$$

La interpretación que se sugiere de la primera afirmación es entonces identificar $J$ como " cualquier observador (incl. su reloj )" y $A$ y $B$ como el " otros relojes ";
mientras que la interpretación sugerida de la segunda afirmación es identificar $A$ y $B$ como el " observadores " y $J$ como " cualquier reloj ".

Hay que señalar otra "sutileza":
Anteriormente en la sección "Los relojes y las reglas juegan malas pasadas" del folleto de Landau/Rumer (concretamente en el segundo párrafo de dicha sección) se señala:

Pero el relojero aseguró al viajero que su reloj estaba perfectamente.
[Traducción mía a partir de una edición alemana del folleto de Landau/Rumer, de la que dispongo en este momento].

Por lo tanto:

1. Todos los relojes considerados en los ejemplos de Landau/Rumer están (posiblemente) "funcionando a tarifas iguales "; no hay algunos " funcionamiento lento (er)" y/u otros " correr rápido (er)",
   sino que, correspondiendo a la desigualdad mostrada anteriormente, podría decirse más correctamente que $P$ (o " ejecute ") fue más corto que las duraciones correspondientes (o " ejecute s") de $A$ y $B$ . Y

2. Cabe señalar que las ecuaciones y la desigualdad mostradas anteriormente (incluida su derivación) sólo se ocupan de comparar duraciones, no "tasas" ni "lecturas". Estas relaciones son independientes de que las "velocidades" de los distintos relojes sean iguales y " de acuerdo (en comparación con los demás)", o no. En cambio, estas relaciones son útiles para determinar, en primer lugar, si los "ritmos" de los distintos relojes seguían siendo iguales (como cualquier relojero podría haber prometido fácilmente), o no, especialmente si los relojes a comparar se movían uno respecto al otro.

Answer 4

El motivo por el que estas afirmaciones son coherentes queda claro si citamos el libro de Landau & Rumer un poco más extensamente:

A de Einstein. A una distancia de 864.000.000 kilómetros hay dos estaciones. A su velocidad de 240.000 kilómetros por segundo, el tren de Einstein necesita una hora para recorrer esta distancia.

Hay un reloj en cada una de estas estaciones. Un pasajero sube al tren en la primera estación y antes de su salida pone su reloj en reloj de la estación. Al llegar a la segunda estación, se da cuenta con que su reloj va atrasado.

El relojero había asegurado al pas perfecto.

¿Qué ha pasado?

[explicación de cómo funcionan estos efectos en la relatividad, que es el material estándar de los libros de texto].

Por tanto, cualquier reloj en movimiento funcionará más despacio que un reloj en reposo. Pero ¿no contradice este resultado el principio de la relatividad del movimiento, que era nuestro punto de partida? ¿No significa esto que el reloj que va más rápido que cualquier otro está en un estado de reposo absoluto? No, porque comparamos el reloj en el tren con los relojes en el estaciones en condiciones completamente desiguales. No usamos dos, sino tres relojes. El viajero comparó su reloj con dos relojes diferentes en dos estaciones diferentes.

En otras palabras, el punto crucial (como señala cth en un comentario) es que estamos comparando el tiempo transcurrido en el reloj del pasajero con la diferencia de tiempos entre un par de relojes, donde los relojes del par están en reposo uno respecto al otro, y han sido sincronizados en su marco de reposo. (Cuando digo que están sincronizados, quiero decir que han hecho lo siguiente: se dispara una señal luminosa desde el primer reloj al segundo, que refleja la señal de vuelta inmediatamente. A continuación, el primer reloj envía al segundo una carta en la que especifica las horas que indicaba su esfera cuando enviaba y recibía la señal luminosa: llámalas $\tau_1$ y $\tau_2$ (por lo que podríamos tener $\tau_1$ = 17:00 y $\tau_2$ = 17:10, por ejemplo). A continuación, el segundo reloj ajusta su esfera horaria para leer $\frac{1}{2}(\tau_2 - \tau_1) + \Delta \tau$ donde $\Delta \tau$ es el tiempo que ha registrado que ha transcurrido desde el evento de reflexión. En otras palabras, establece su timeface de tal manera que al evento de reflexión se le asigna el tiempo $\frac{1}{2}(\tau_2 - \tau_1)$ (por lo que en el ejemplo, se establece de tal manera que al evento de reflexión se le asigna la hora 17:05. Esto se conoce generalmente como la convención de sincronía Einstein-Poincaré).

Si, por el contrario, el pasajero hubiera intentado calcular los intervalos de tiempo entre los ticks de un (digamos el reloj de la primera estación) utilizando su reloj, calculando qué eventos de su reloj son simultáneos con esos tics, entonces habría determinado que el tictac de las 17:00:00 está separado del tictac de las 17:00:01 por algún intervalo mayor que 1 segundo; es decir, suponiendo que el primer tictac es simultáneo con la lectura de su reloj $t$ el segundo tick será simultáneo con la lectura de su reloj $t + 1 + \epsilon$ para algún valor positivo $\epsilon$ . (Se podrían calcular las cifras aquí, pero tengo prisa y no me molesto). Pero si alguien situado en toda la estación (digamos, el jefe de estación) hubiera intentado hacer lo mismo, habría llegado a la conclusión de que las pulsaciones del reloj del pasajero están separadas por intervalos de más de 1 segundo. Es decir, el jefe de estación considera que los tics del reloj del pasajero son simultáneos a los eventos del reloj de la estación separados por más de 1 segundo. Aquí tampoco hay contradicción: el hecho de que lleguen a conclusiones "opuestas" simplemente hace vívido el hecho de que el pasajero y el jefe de estación discrepan sobre qué sucesos de la línea del mundo del pasajero son simultáneos con qué sucesos de la línea del mundo del jefe de estación.

Answer 5

La Teoría de la Relatividad Especial dice que el reloj en movimiento es más lento. Resulta de la ecuación de transformación del tiempo que muestra dilatación del tiempo :

$$\Delta t' = \Delta t \gamma$$

donde $\Delta t'$ es el tiempo medido en un sistema de referencia considerado estacionario, y $\Delta t$ se mide en un sistema de referencia considerado móvil (respecto al estacionario) y $\gamma>0$ *.

Como puede ver, sea cual sea el periodo de tiempo que elija como $\Delta t$ , $\Delta t'$ será siempre mayor, porque $\Delta t$ se multiplicará por $\gamma$ . Esto significa que el reloj estacionario siempre medirá un mayor número de segundos para un determinado número de segundos medidos por el reloj móvil, y por lo tanto el reloj en movimiento siempre será el más lento según SR .

* $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}} $