Entendiendo la forma integral de una ley de conservación

Question

Cuando pienso en una ley de conservación pienso en una ecuación de continuidad como la siguiente

$$\partial_t \rho = -\nabla \cdot \vec j$$

Pero ahora estoy leyendo un libro de electrodinámica (que honestamente está un poco por encima de mi cabeza) y su versión de una ley de conservación es como una ecuación integral que desaparece sobre cualquier submanifiesto cerrado. Por ejemplo la conservación de la carga se da de la siguiente manera: Dada la corriente de carga torcida $3$ -forma $J$ entonces $$\oint_{C_3} J=0$$ donde $C_3$ es un lugar cerrado arbitrario $3$ -submanifiesto dimensional [de nuestro $4$ espacio-tiempo dimensional].

No busco ninguna intuición física, sólo pregunto ¿cómo implica esta ecuación la conservación de una cantidad? ¿Es esta ecuación equivalente a una ecuación de continuidad?

Answer 1

La ecuación de continuidad es la forma local de la integral de conservación de la carga eléctrica. En primer lugar, recordemos cómo obtener la integral de conservación a partir de argumentos físicos sencillos, sin invocar el colector espaciotemporal de 4ª dimensión ni las formas diferenciales sobre él. Imaginemos un volumen de control $\mathcal V$ en el espacio delimitado por la superficie $\mathcal S$ . La conservación expresa que la tasa de variación temporal de la carga eléctrica dentro del volumen $V$ se equilibra con (se opone a) el flujo de salida de la densidad de corriente a través del límite $\mathcal S$ :

\begin{equation} \frac{d}{dt} \int_{\mathcal V}\rho\, dV = - \int_S \vec j.d\vec S \end{equation}

Dado que es el volumen de control es fijo en el espacio no varía con el tiempo se obtiene, \begin{equation} \frac{d}{dt} \int_{\mathcal V}\rho\, dV = \int_{\mathcal V} \frac{\partial\rho}{\partial t} \, dV \end{equation}

A partir de la aplicación del teorema de Stokes (fórmula de Ostrogradski) aplicado al volumen $\mathcal V$ en también recibe, \begin{equation} \int_{\mathcal S} \vec j.d\vec S = \int_{\mathcal V} \vec\nabla_3.\vec j\, dV \end{equation}

Resultando en alguna forma integral, \begin{equation} \int_{\mathcal V} [\frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec \nabla_3.\vec j] \, dV =0 \end{equation}

o en forma diferencial local. \begin{equation} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec \nabla_3.\vec j = 0. \end{equation}

donde $\vec \nabla_3=(\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3})$ es el vector del gradiente en el espacio.

Ahora reinterpretemos la fórmula en el espacio-tiempo de Minkowski (relativista) de 4ª dimensión con coordenadas de evento $(x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z)$ . Se puede demostrar que el análogo de la densidad de corriente tridimensional es el cuatro vector covariante de Lorentz definido por \begin{equation} \vec J = (c\rho,\vec j) = (J_0, (J_1,J_2,J_3)) \end{equation} $c$ indicando la velocidad de la luz. Del mismo modo, el análogo del gradiente es el cuatro gradientes, \begin{equation} \vec \nabla_4=(\frac{\partial .}{\partial x^0},\nabla_{3}) \end{equation}

La ecuación local para la conservación de la carga simplemente se escribe, \begin{equation} \vec \nabla_4 .\vec J = 0 \end{equation}

A la corriente eléctrica de cuatro vectores $\vec J$ se puede asociar una 3ª forma diferencial retorcida: \begin{equation} J = J_0 dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3 -J_1 dx^0\wedge dx^2\wedge dx^3 + J_2 dx^0\wedge dx^1\wedge dx^3 - J_3 dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2. \end{equation}

tal que su derivada exterior $dJ$ cuando se calcula da

\begin{equation} dJ = \vec \nabla_4. \vec J \end{equation}

En el espaciotiempo de 4ª dimensión la forma local de conservación de la carga se expresa entonces como $dJ=0$ . Si se considera una variedad riemaniana de 4ª dimensión $\mathcal M$ de límite cerrado $\partial M$ y aplicando el teorema de Stokes sobre ella se obtiene la forma integral de 4ª dimensión de la conservación de la carga. De la ecuación anterior se obtiene $\int_{\mathcal M} dJ =0$ entonces el teorema de Stokes da $\int_{\mathcal M} dJ = \int_{\partial M} J=0$ .

Mi opinión es que la ecuación de continuidad y la forma integral de 4ª dimensión son equivalentes. A la inversa, partiendo de J como la forma diferencial trenzada de 3 dimensiones y la ecuación integral $\int_{\mathcal \partial M} J =0$ El teorema de Stokes lo hace, \begin{equation} \frac{\partial J_0}{\partial x^0} + \vec \nabla_3.(J_1,J_2,J_3) = 0. \end{equation} como la ecuación de continuidad asociada.

Espero que sea de ayuda.

Nota: se acostumbra a poner $c=1$ .

Answer 2

Dependiendo de su experiencia, lo siguiente podría ayudar:

La forma más elemental de introducir la conservación de la carga en el contexto relativista (espaciotiempo de 4 dimensiones) es a través de la corriente 4 $$ j^\mu = (\rho, \vec {j})$$ donde $\mu=0,1,2,3$ . La ecuación de continuidad es entonces la siguiente $$\partial_\mu j^\mu = \frac{\partial j^\mu}{\partial x^\mu} =0 \tag{1}$$ donde utilizamos la convención de suma de Einstein.

Tomando prestado de la geometría diferencial, también podemos introducir la 3ª forma actual $J$ que puede escribirse como $$ J= \frac{1}{3!} J_{\mu\nu\sigma} dx^\mu \wedge dx^\nu \wedge dx^\sigma$$ con el tensor antisimétrico $J_{\mu\nu\sigma}$ .

La conexión con la corriente 4 viene dada por la dualidad $$ j^\mu = \epsilon^{\mu\nu\sigma\tau} J_{\nu\sigma\tau}$$ con $\epsilon^{\mu\nu\sigma\tau}$ el pseudotensor completamente antisimétrico (así $J_{\nu\sigma\tau}$ es una 3ª forma retorcida).

La ecuación de continuidad (1) asume entonces la forma simple $$ d J= 0$$ lo que significa que la 3ª forma es cerrada.

Ahora puedes aplicar el teorema de Stokes en una región arbitraria $R$ del espacio 4 para obtener $$ 0 = \int_R dJ = \oint_{C} J,$$ con $C=\partial R$ el límite de $R$ .