Ecuación del calor, la separación de variables y la transformada de Fourier

Question

Tengo una pregunta acerca de la ecuación del calor $\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}$ con las condiciones que $\varphi(x,t=0) = f_0(x)$ $\lim_{x \rightarrow\pm \infty}\varphi(x,t) = 0$ por cada $t \in \mathbb{R}$. La forma habitual de resolver esta ecuación es por separación de variables, es decir, $\varphi(x,t) = A(x)B(t)$. Entonces uno tiene las dos ecuaciones diferenciales ordinarias

\begin{equation} \frac{1}{B}\frac{dB}{dt} = \frac{1}{A}\frac{d^2A}{dx^2} = -\gamma \mbox{,} \end{equation}

donde $\gamma > 0$ a fin de que la condición de $\lim_{x \rightarrow\pm \infty}\varphi(x,t) = 0$ está satisfecho. La cosa es que yo también pueda Fourier transformar la solución: $\widehat{\varphi}(k,t) = \widehat{A}(k)B(t)$, es decir, la transformada de Fourier de la solución es también un producto de una función sólo de $k$ y uno sólo de $t$. Sin embargo, cuando me la transformada de Fourier de la ecuación ($\partial/\partial x \leftrightarrow ik$) llego $\frac{\partial\widehat{\varphi}}{\partial t} = -k^2 \widehat{\varphi}(k,t)$, que puede ser fácilmente resuelto como $\widehat{\varphi}(k,t) = \widehat{f_0}(k)e^{-k^2 t}$. Pero esta solución en el espacio de Fourier no puede ser representada como un producto de dos funciones de uno sólo de $k$ y el otro sólo de $t$, aunque debería. Yo superviso algo. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

No se deben mezclar los dos métodos (a) separación de variables y (b) la transformada de Fourier.

La solución definitiva de su problema no será un producto de dos funciones, pero una superposición de dichos productos. Utilice la separación de variables para determinar un suministro suficiente de funciones de base que puede ser utilizado para la superposición.

La transformada de Fourier con respecto a la variable $x$ le da inmediatamente la transformada de Fourier $\hat\phi(k,t)$ de la solución final. Ahora usted tiene que transformar la espalda. Por las reglas de la transformada de Fourier del producto en el espacio de Fourier será transformada en una convolución.

Answer 2

La primera de todas, la única solución de $A''+\gamma\,A=0$ tal que $\lim_{x\to\pm\infty}A(x)=0$$A(x)\equiv0$. Si $\gamma>0$ obtener el delimitada soluciones de la ecuación del calor: $$ e^{-\gamma\, t}\cos(\sqrt\gamma\, x),\quad e^{-\gamma\, t}\sin(\sqrt\gamma \,x). $$

Separación de variables no da todas las soluciones: soluciones sólo que puede ser escrito como el producto de una función de $x$ y una función de $t$. Por ejemplo, $$ e^{- t}\cos(x)+e^{-4\,t}\sin(2\,x) $$ es una solución de la ecuación del calor que no puede ser escrito como $B(t)\,A(x)$.

Answer 3

Caso $1$: $t\geq0$

Deje $\varphi(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-s^2\\X''(x)+s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-ts^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin xs+c_2(s)\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore\varphi(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds$

Caso $2$: $t\leq0$

Deje $\varphi(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=s^2\\X''(x)-s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{ts^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sinh xs+c_2(s)\cosh xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore\varphi(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{ts^2}\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{ts^2}\cosh xs~ds$

Por lo tanto $\varphi(x,t)=\begin{cases}\int_0^\infty C_1(s)e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds&\text{when}~t\geq0\\\int_0^\infty C_1(s)e^{ts^2}\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{ts^2}\cosh xs~ds&\text{when}~t\leq0\end{cases}$

Tenga en cuenta que en esta pregunta nosotros sólo nos preocupamos de $x\in\mathbb{R}$ . Desde $\sin xs=-\sin(-xs)$ , $\cos xs=\cos(-xs)$ , $\sinh xs=-\sinh(-xs)$ y $\cosh xs=\cosh(-xs)$ , $\varphi(x,t)$ tiene forma alternativa de la solución:

$\varphi(x,t)=\begin{cases}\int_0^\infty C_1(s)e^{-ts^2}\sin|x|s~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-ts^2}\cos|x|s~ds&\text{when}~t\geq0\\\int_0^\infty C_1(s)e^{ts^2}\sinh|x|s~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{ts^2}\cosh |x|s~ds&\text{when}~t\leq0\end{cases}$

Desde $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\sin|x|s$ , $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\cos|x|s$ , $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\sinh|x|s$ y $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\cosh|x|s$ no existen, no podemos determinar directamente si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\varphi(x,t)=0$ mantiene o no.

Sin embargo, cuando hacemos un cambio de variables:

$\varphi(x,t)=\begin{cases}\int_0^\infty C_1\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)e^{-t\left(\frac{s}{|x|}\right)^2}\sin s~d\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)+\int_0^\infty C_2\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)e^{-t\left(\frac{s}{|x|}\right)^2}\cos s~d\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)&\text{when}~t\geq0\\\int_0^\infty C_1\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)e^{t\left(\frac{s}{|x|}\right)^2}\sinh s~d\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)+\int_0^\infty C_2\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)e^{t\left(\frac{s}{|x|}\right)^2}\cosh s~d\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)&\text{when}~t\leq0\end{cases}$

$\varphi(x,t)=\begin{cases}\int_0^\infty C_1\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)\dfrac{e^{-\frac{ts^2}{x^2}}\sin s}{|x|}ds+\int_0^\infty C_2\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)\dfrac{e^{-\frac{ts^2}{x^2}}\cos s}{|x|}ds&\text{when}~t\geq0\\\int_0^\infty C_1\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)\dfrac{e^{\frac{ts^2}{x^2}}\sinh s}{|x|}ds+\int_0^\infty C_2\biggl(\dfrac{s}{|x|}\biggr)\dfrac{e^{\frac{ts^2}{x^2}}\cosh s}{|x|}ds&\text{when}~t\leq0\end{cases}$

Desde $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{e^{-\frac{ts^2}{x^2}}}{|x|}=0$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{e^{\frac{ts^2}{x^2}}}{|x|}=0$ ,

$\therefore\varphi(x,t)=\begin{cases}\int_0^\infty C_1(s)e^{-ts^2}\sin|x|s~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-ts^2}\cos|x|s~ds&\text{when}~t\geq0\\\int_0^\infty C_1(s)e^{ts^2}\sinh|x|s~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{ts^2}\cosh |x|s~ds&\text{when}~t\leq0\end{cases}$ automáticamente satisflies $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\varphi(x,t)=0$ .

El problema es cómo sustituir los $\varphi(x,0)=f_0(x)$ a eliminar muy bien en algunas de las $C_1(s)$$C_2(s)$ .