Si el proceso de $S=S_{t}$ satisface la SDE: $$dS_{t}=\frac{1}{S_{t}}1_{(S_{t}>0)}dB_{t}, \ S_{0}=1.$$ will $S_{t}$ be a martingale? It seems reasonable to say so because $S_{t}$ is clearly nonnegative, and $S_{t}$ will not become unbounded because the term $\frac{1}{S_{t}}$ in the integrand will control the dynamic of $S_{t}$. Pero no sé cómo formular una prueba. Podría alguien ayudar en esto? Gracias!
Respuesta
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Ephramar
Puntos
8
Por la Proposición 5.22 en la página 345 de Karatzas y Shreve, si
$X_t$ es una solución débil a $dX_t = b(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t$ en un intervalo de $I$ que en este caso es $I = (0,\infty)$.
Si $p(x)$ es la escala de la función dada por $p(x) = \int_0^x exp(-2 \int_0^y \frac{b(z)}{\sigma(z)^2}dz)dy = x$.
Tenemos $p(0^+) > -\infty$, e $p(\infty) = \infty$, luego tenemos a $$P[lim_{t \rightarrow \infty}X_t=0]=P[sup_{0\leq t < \infty} X_t < \infty] = 1.$$
Por lo tanto, si tomamos $T_n = inf\{t\geq0 : X_t \leq \frac{1}{n}\}$ tenemos un positivo martingala local y así un supermartingale. Que es tanto como he podido conseguir.
Alguien me dijo una vez que han solucionado este problema a través de Girsanov. Por ejemplo, si $dZ = XZdW$ $Z$ es una martingala, entonces tenemos que W - $\int X$ es un Movimiento Browniano en virtud de la nueva medida derivada de $Z$. Tal vez alguien puede utilizar este método para resolver este problema ya me gustaría ver una solución también.
