Estructura de $G$-invariante formas bilineales sobre finito (?) campos

Question

Tengo una pregunta acerca de la estructura de $G$-invariante formas bilineales. Deje $G$ ser arbitraria finito grupo y $\mathbb{F}_q$ un campo finito tal que $2|G|$ no es divisible por las características del campo. Deje $V$ ser una irreductible $\mathbb{F}_qG$-módulo para que las dimensiones de los espacios de $G$-invariante simétrica formas bilineales y el sesgo de simetría formas bilineales son ambos de dimensión $>0$ (en particular, el módulo de auto-dual).

Ahora podemos considerar la descomposición de la $V$ en absolutamente irreductible a los mandantes, que me de grupo de la siguiente manera: $$\overline{\mathbb{F}_q}\otimes_{\mathbb{F}_q} V \cong \bigoplus_{i=1}^s V_i^{\alpha_i} \oplus \bigoplus_{j=1}^t W_j^{\beta_j} \oplus \bigoplus_{\ell=1}^r (X_\ell \oplus X^* _\ell)^{\gamma_j}$$ Aquí el $V_i$ tienen un espacio multi-dimensional de $G$-invariante simétrica de los formularios de cada uno, el $W_j$ tienen un espacio multi-dimensional de sesgar-simétrica $G$-invariante de los formularios de cada uno y el $X_\ell$ han $0$ $G$- forma fija, lo que significa que no son auto-dual y dual $X_\ell^*$ se produce en la descomposición con la misma multiplicidad como $X_\ell$. Creo que no es inusual para llamar a la $V_i$ componentes ortogonales y el $W_j$ simpléctica componentes.

Ahora, con base en algunos de los ejemplos que he visto, y algunas "pruebas" que he recogido de algún código de computadora, creo que en la presencia de ambos simétrica y el sesgo de simetría de las formas en las $\mathbb{F}_q G$-módulo de $V$ no habrá ni cualquier ortogonal ni cualquier simpléctica componentes, o en otras palabras $s=t=0$, pero no tengo absolutamente ninguna idea de cómo probar esto. Otra manera de mirar esto podría ser que la existencia de ambos ortogonales y simpléctica a los mandantes en la descomposición durante la clausura algebraica (o una división de campo) implica que $V$ no es irreducible, pero este enfoque no se me de muy lejos... Una idea que en ese caso puede ser el de demostrar que $\bigoplus_{i=1}^s V_i^{\alpha_i}$, es decir, el submódulo de todos los ortogonal a los mandantes con multiplicidades, ya es realizable $\mathbb{F}_q$, pero realmente no tengo una idea de cómo probar esto (si es que es cierto...).

Por lo tanto, estoy buscando ayuda con respecto a esta pregunta. También, y esto me ocurrió hace apenas unos minutos, puede que esta declaración todavía ser verdadero sin la suposición de que el campo en el ser finito, por supuesto, manteniendo la condición de que el grupo de álgebra ser semi-simple y que existe una distinción entre simétrica y el sesgo de simetría, es decir,$\mathrm{char}(\mathbb{F})\neq 2$)?

Estoy mirando adelante a cualquier tipo de sugerencia, debido a que este problema realmente no parece que debería de ser tan difícil...

Answer 1

La afirmación anterior es correcta, como puede verse por la aplicación de la functor $$F ~:~\overline{\mathbb{F}_q}G-\mathrm{mod} \to \overline{\mathbb{F}_q}G-\mathrm{mod}$$ which sends a module $V$ to ${^\sigma V}$, which is the same module, but with scalar multiplication twisted by $\sigma ~:~ x\mapsto x^q$, the Frobenius automorphism of $\overline{\mathbb{F}_q}$ with fixed field $\mathbb{F}_q$.

Los siguientes hechos, a continuación, implica la declaración.

1. $F$ es compatible con direct sumas.
2. $F(V^*)\cong F(V)^*$
3. $F$ conserva el "tipo" de un módulo, es decir, ortogonal, simpléctica y unitaria.
4. $F(V)\cong V$ si y sólo si hay un $V_0\in\mathbb{F}_qG-\mathrm{mod}$ tal que $V\cong \overline{\mathbb{F}_q}\otimes_{\mathbb{F}_q} V_0$ (esto no es completamente trivial).