Es posible construir una perfecta, sin límites, finitos de la superficie únicamente con heptagons?

Question

Nota, la motivación para esta pregunta, en esencia viene de diseño del juego. Me preguntaba si es posible y/o si aún tiene sentido tener un campo de juego que es tanto hiperbólico (el área que puede alcanzar es de más de $\pi r^2$ para una determinada distancia de viaje $r$) y toroidal (pasando la frontera se traslada al otro lado del mundo).

Es posible unir más de dos heptagons tal que:

• hay un número finito de heptagons,
• el heptagons se unió borde-a-borde,
• hay al menos tres heptagons alrededor de cada vértice,
• y cada arista es compartida por exactamente dos distintas heptagons?

Alternativamente, cuatro hexágonos alrededor de cada vértice, o cualquier configuración donde el mosaico necesariamente ser hiperbólico (como estos).

Mi intuición es de ser bastante ineficiente en este caso desde hiperbólico y toroidal parecer contradictorio, pero no puedo pensar inmediatamente cualquier razón que sin duda establece si un hiperbólico y de campo toroidal es posible o no.

Answer 1

De hecho, hay un compacto de superficie hiperbólica $S$ con un heptagon mosaico como usted describe, que exactamente 3 heptagons reunirse alrededor de cada vértice. En realidad hay infinitamente muchos ejemplos de tales superficies, pero el ejemplo más famoso es la cuártica de Klein, que consta de 24 heptagons. Una escultura de esta superficie fue hecha por Helamán Fergusun que el derecho es El Camino Óctuple (un juego de palabras sobre el nombre de Murray Gell-man de la teoría de la partícula). Hay todo un libro de artículos sobre esta superficie, también titulado El Camino Óctuple.

He aquí una muy breve descripción de la cuártica de Klein (la terminología proviene de Klein originales de la construcción el uso de la geometría algebraica, pero voy a describir una construcción diferente, que más de cerca destaca las características que responder a su pregunta).

Uno empieza con un mosaico del plano hiperbólico por regular heptagons con ángulos de $120^\circ$, salas de reuniones 3 alrededor de cada vértice. El grupo de simetría de este mosaico es el $(2,3,7)$ triángulo grupo, un miembro de la familia de Coxeter grupos; uno puede ver que el $120^\circ$ regular heptagon se subdivide en $14$ triángulos con ángulos $\pi/2,\pi/3,\pi/7$.

En general, existe un teorema acerca de los grupos de simetría del plano hiperbólico tener un pacto fundamental de dominio, diciendo que cada grupo tiene un número finito de índice de torsión libre subgrupo, en el hecho de que tiene un número infinito de tales subgrupos, cuyos índices puede ser arbitrariamente grande. El cociente del plano hiperbólico por este subgrupo es siempre una superficie hiperbólica.

En el caso de la $(2,3,7)$ triángulo grupo, uno puede encontrar un determinado subgrupo de índice $24 \cdot 14 = 336$ que es la torsión libre. El cociente de la heptagon suelo de baldosa plano hiperbólico este subgrupo es el heptagon suelo de baldosa cuártica de Klein.

Answer 2

Gauss-Bonnet impide que un hiperbólico toro sin cono puntos. Si usted está dispuesto a utilizar un cono de punto, entonces usted puede incluso tener plazas. Si usted está dispuesto a utilizar octógonos, entonces usted puede construir género-2 hiperbólico de las superficies.

Answer 3

no hay respuesta solo un comentario largo o mis 2 centavos de dólar (lo que significa que no estoy muy bien informado sobre la intersección entre la geometría hiperbólica y topología )

Me parece hiperbólico y finito ya difícil de combinar. Digamos que combina la Hiperbólica y torodial.

Usted puede leer sobre esto en "La forma del espacio, segunda edición" por Jeffrey Semanas, (ISBN 978-0-8247-0709-5) pero para ser honnest yo no entiendo mucho de esto, sobre todo cuando se trata de combinar la topología con la geometría hiperbólica.

Tal vez echar un vistazo a hyperouge http://steamcommunity.com/app/342610 un juego que se juega en un plano hiperbólico (pero no torodial ni finito).

También estaba pensando ¿por qué no jugar en un real toro (el interior de un toro se negativly curva por lo que tiene un poco de geometría hiperbólica)

o jugar en un pseudosphere (https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudosphere ) o dini superficie https://en.wikipedia.org/wiki/Dini%27s_surface pero me estoy preguntando sobre cómo funcionaría .

espero que esta ayuda ( un poco)