Kan extensiones lineales categorías

Question

Deje $C$ ser un cocomplete categoría. Supongamos que $X : A \to B$ es un functor, donde $A$ es pequeña. A continuación, cada functor $F : A \to C$ admite a la izquierda Kan extensión de $\mathrm{Lan}_X(F) : B \to C$, que se define mediante la asignación de $b \in B$$\mathrm{colim}_{X(a) \to b} F(a)$. La acción en morfismos es la siguiente: Si $\iota_{\sigma} : F(a) \to \mathrm{Lan}_X(F)(b)$ denota la colimit inclusión inducida por $\sigma : X(a) \to b$, luego de un morfismos $f : b \to b'$ tenemos $\mathrm{Lan}_X(F)(f) \circ \iota_{\sigma} = \iota_{f \sigma}$. Esto es bien conocido y fácil de comprobar.

Ahora me gustaría trabajar con $k$-lineal (es decir, $\mathsf{Mod(k)}$enriquecido) categorías de lugar. Así que supongamos que $A,B,C$ $k$- lineal de las categorías y de la misma manera $X,F$ $k$- lineal functors. Entonces no parece ser el caso de que $\mathrm{Lan}_X(F)$, como se definió anteriormente, es un $k$-lineal functor de nuevo, ¿verdad? Entonces, ¿cómo podemos explícitamente la construcción de un $k$-lineal functor $\mathrm{Lan}_X(F)$ que sirve como un lineal de izquierda Kan extensión (que yo definiría por un isomorfismo natural de $k$-módulos de $\hom(\mathrm{Lan}_X(F),T) \cong \hom(F,T \circ X)$ donde $T : B \to C$ $k$- lineal functor)?

Soy consciente de que Kelly trata enriquecido Kan extensiones en su libro sobre enriquecido categorías. Pero no parece que me ayude. Me gustaría saber una de la abajo-a-tierra de la construcción sin profundizar en general enriquecido categoría de teoría. Después de todo, lineal categorías deben ser un ejemplo muy básico.

Answer 1

Deje $\mathcal{V}$ ser un Bénabou cosmos (completa y cocomplete monoidal simétrica cerrada categoría), vamos a $\mathcal{A}$ ser un pequeño $\mathcal{V}$-categoría, vamos a $\mathcal{B}$ cualquier $\mathcal{V}$-categoría, y deje $\mathcal{C}$ $\mathcal{V}$- categoría que es cocomplete en el sentido ordinario, así como la tensored y cotensored. Deje $X : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ $F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ $\mathcal{V}$- functors. Un pointwise izquierda Kan extensión (que Kelly se refiere simplemente como "izquierda Kan extensión') es una izquierda Kan extensión que se conserva por representable functors, en el sentido de que $$\mathcal{C} (\operatorname{Lan}_X F, C) \cong \operatorname{Ran}_X \mathcal{C} (F, C)$$ y en la parte derecha puede ser descrito por la siguiente final en $\mathcal{V}$: $$\operatorname{Ran}_X \mathcal{C} (F, C) \cong \int_{A : \mathcal{A}} \mathcal{V} (\mathcal{B} (X A, -), \mathcal{C}(F A, C))$$ Tenga en cuenta que el lado derecho, evaluado en $B$$\mathcal{B}$, es la definición de los hom-objeto $$[\mathcal{A}, \mathcal{V}](\mathcal{B}(X, B), \mathcal{C}(F, C))$$ y así obtenemos las siguientes fórmulas en $\mathcal{C}$: $$(\operatorname{Lan}_X F) B \cong \mathcal{B}(X, B) \star_{\mathcal{A}} F \cong \int^{A : \mathcal{A}} \mathcal{B}(X A, B) \otimes F A$$

Nuestro problema es que ahora para describir a $\mathcal{V}$enriquecido extremos/coends. Deje $H : \mathcal{A}^\mathrm{op} \otimes \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ $\mathcal{V}$- functor. Entonces, para$A$$A'$$\mathcal{A}$, obtenemos un par de morfismos en $\mathcal{V}$, \begin{align*} \mathcal{A} (A', A) \otimes H (A, A') & \to H (A, A) \\ f \otimes z & \mapsto H (A, f) (z) \\ \mathcal{A} (A', A) \otimes H (A, A') & \to H (A', A') \\ f \otimes z & \mapsto H (f, A') (z) \end{align*} y el coend de $H$ es calculado por la siguiente coequaliser diagrama: $$\coprod_{(A, A') \in \operatorname{ob} \mathcal{A}} \mathcal{A} (A', A) \otimes H (A, A') \rightrightarrows \coprod_{A \in \operatorname{ob} \mathcal{A}} H (A, A) \to \int^{A : \mathcal{A}} H (A, A)$$ Tenga en cuenta que debido a $\mathcal{C}$ es cotensored, ordinaria colimits y cónicos colimits coinciden.

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A la pregunta de si enriquecido a la izquierda Kan extensiones pueden ser calculadas usando sólo (posiblemente iterada) colimits sobre ordinarias diagramas esencialmente se reduce a si cada una de las $\mathcal{V}$-presheaf $\mathcal{A}^\mathrm{op} \to \mathcal{V}$ puede ser expresado como (posiblemente iterada) colimit sobre ordinario diagrama de representable $\mathcal{V}$-presheaves. Según Kelly (§3.9), este es el caso cuando se $\mathcal{V}$$R\text{-}\mathbf{Mod}$, pero no veo por qué no de inmediato.