En un artículo que estoy leyendo está escrito lo siguiente:
Deje $X = (X_1, \dots, X_n) \sim E_n(\mu, \Sigma, \phi)$ ser un elíptica distribuidos al azar vector; deje $S = \sum_{i = 1}^n X_i$. A $$E[X_k \mediados del S=s] = \mu_k + \frac{\sigma_{k,S}}{\sigma_{S}^2}(s - \mu_S)$$ donde $\mu_k$ es la media de $X_k$, $\mu_S, \sigma^2_S$ son la media y la varianza de $S$, e $\sigma_{k,S}$ es la covarianza entre el $X_k$ $S$
He tratado de probar esto, pero sin suerte. ¿Alguien puede ayudar?
Pensamientos
He intentado lo siguiente:
$$E[X_k \mid S=s] = \int xf_{X_k \mid S = s}(x) dx$$
Desde $$f_{X_k \mid S = s}(x) = \frac{f_{(X_k, S)}(x,s)}{f_S(s)}$$
Puedo conseguir
$$E[X_k \mid S=s] = \frac 1{f_S(s)} \int x f_{(X_k, S)}(x,s) dx$$
Sé que la distribución de los vectores $(X_k, S)$ (Ya que es una transformación lineal de los vectores $X$, todavía es elíptica distribuido y puedo calcula la media y la varianza; la elíptica generador de $\phi$ sigue siendo el mismo).
Pero cómo simplificar además para obtener el resultado indicado en el documento?
