Un problema difícil en exponencial de la integración

Question

Supongamos $a : [0 , 1] \to \Bbb R$ es infinitamente función suave. Para $\lambda\ge1$, definir $$F(\lambda) := \lambda \int_0^1 e^{\lambda t} a(t) \, dt.$$ Si $\sup_{\lambda\ge1}|F(\lambda)|\lt\infty$, $a$ es idéntica a cero la función.

Mi profesor dijo que esta afirmación es verdadera, pero no he sido capaz de resolver esto por algún tiempo. Él también da a entender que este problema es altamente no trivial (al menos para mí). A continuación son algunos de los resultados que he sacado:

1. Derivados de cualquier orden de $a$ se desvanece en $t = 1.$
2. Para cualquier $\delta\lt1$, $a(t)$ tiene un cero en el intervalo abierto $(\delta , 1).$ Lo mismo es cierto para todos los derivados de $a(t)$. Esto nos dice que el $n^\text{th}$ derivado de la $a$ tiene una infinidad de distintos ceros natural de todos los $n$.
3. Si $a$ es analítica, entonces puedo mostrar que $a(t)\equiv 0.$
4. Si $a(t)\ge0$$[0 , 1]$, entonces es obvio que $a\equiv 0.$

Agradecería cualquier sugerencia.

En realidad $(1)$ $(3)$ sigue de $(2)$. Para $(2)$, supongamos que $a(1)\gt0$ (en el caso de que $a(1)\lt0$ puede argumentar de la misma manera como el siguiente), entonces existe $\delta\lt1$ tal que $a(t)$ es estrictamente positiva en $I = [1-\delta , 1]$. A continuación, escriba $F(\lambda) = \lambda\int_0^{1-\delta}e^{\lambda t}a(t)dt + \lambda\int_{1-\delta}^1e^{\lambda t}a(t)dt$. Ahora existe $c\gt0$ tal que $a(t)>c$ $I$ desde $I$ es compacto, por lo que el segundo término es acotado abajo por $c (e^{\lambda}-e^{\lambda(1-\delta)})$. Pero el primer término es sólo $O(e^{\lambda(1-\delta)})$, por lo que esto contradice el hecho de que $F(\lambda)$ está acotada. Además, el uso de la misma idea y la integración por partes, se puede ver que $n^{th}$ derivado de la $a$ debe desaparecer en $1$.

Answer 1

Este es un estándar de ejercicios todas en la aplicación de la Phragmén-Lindelöf Principio. $F(\lambda)$ es una función completa (analítica en todo el plano complejo). En el eje imaginario, tenemos: $$|F(\lambda)|\leq c|\lambda|,$$ donde $c$ $L^1$ norma de $a$. En el eje real, es limitada, por su asunción. Por otra parte, esta función es de tipo exponencial $1$. Tiene al menos un cero en el plano complejo, decir $\lambda_0$. (La única función de tipo exponencial que no tiene ceros es la función exponencial, y es claro que nuestra función no es una función exponencial). Por lo tanto, $G(\lambda)/(\lambda-\lambda_0)$ está delimitada a ambos ejes de coordenadas, y así constante, por Phragmén-Lindelöf. Ahora es fácil ver que esto es una contradicción.

Una buena referencia para Phragmén-Lindelöf es cualquiera de los dos libros de Levin (Conferencias sobre la totalidad de las funciones, o la Distribución de los ceros de la totalidad de funciones). Creo que el primer libro está disponible gratuitamente en la web. Otros libros sobre todo las funciones de contener este.

La suposición de que $a$ es suave no fue utilizado. La prueba anterior sólo se utiliza ese $a$ es integrable, pero el hecho es cierto incluso si sólo suponemos que $a$ es una distribución, o incluso un hyprfunction.