El esquema teórico de la definición de un vector paquete

Question

He empezado a leer el libro "Conferencias sobre el Vector de Paquetes" por J. Le Potier, donde al principio él da las siguientes dos definiciones, que son muy familiares en liso o holomorphic configuración:

$X=$variedad, más de $\mathbb{C}$ separados finito tipo de esquema sobre $\mathbb{C}$. "Puntos" en este libro significa cerrado puntos.

Definición 1. Deje $X$ ser una variedad algebraica. Un (complejo) lineal fibration más de X está dada por un surjective de morfismos de variedades algebraicas $p: E \to X$, donde por cada punto de $x\in X$, $p^{-1}(x)$ tiene la estructura de espacio vectorial complejo.

Definición 2. Un algebraica de vectores paquete de rango $r$ es lineal fibration $E \to X$ que es localmente trivial, que es para cada punto de $x\in X$ existe un abierto de vecindad $U$ con un isomorfismo de fibrations $E|_U \to U \times \mathbb{C}^r$.

1. Sin embargo, en este algebraicas caso tengo el siguiente confusión.:

¿Qué hace exactamente la estructura de espacio vectorial significa en este caso? Dicen que si tomamos $\mathbb{C}^n$, esquema-en teoría, esto debería ser tomado como $Spec \ \mathbb{C} [x_1,...,x_n]$, y en puntos cercanos de verdad tiene la estructura de espacio vectorial. Pero, ¿qué acerca de la no-cerrado puntos, qué nos importa todo?

Por lo tanto, es correcto entender que la primera definición en el sentido de que cada uno (esquema teórico) de la fibra sobre cerrado en el punto $x$ es isomorfo a $Spec \ \mathbb{C}[x_1,...,x_n]$? También lo que acerca de fibras de más de no-cerrada puntos, necesito algo de ellos?

2. Otro problema surge cuando el autor comienza el tratamiento asociado paquetes.

A decir por el Whitney suma, la toma del $E \oplus F = \coprod_{x\in X} (E_x \oplus F_x)$ como conjuntos y, a continuación, localmente induce la estructura de variedad algebraica considerando bijection $(E \oplus F)|_{U_i} \to U_i \times (\mathbb{C}^r \oplus \mathbb{C}^s)$, dado por $\phi_i \oplus \psi_i$ donde los últimos son los correspondientes como banalizaciones para$E$$F$.

Pero, ¿qué $\mathbb{C}^r \oplus \mathbb{C}^s$ significa rigurosamente? Es $\mathbb{C}^{r+s} = Spec \ \mathbb{C} [x_1,...,x_r, y_1,...,y_s]$?

Pero entonces es un hecho bien conocido, que $Spec \ \mathbb{C} [x_1,...,x_r, y_1,...,y_s]$ tiene más puntos de los que son producto directo como conjuntos de $Spec \ \mathbb{C}[x_1,..,x_r] \times Spec \ \mathbb{C}[y_1,...,y_s]$ (por lo tanto más puntos de $E_x \oplus F_x$, para el caso). Por lo $\phi_i \oplus \psi_i$ sólo puede ser un bijection si se restringe a cerrado puntos. Así que si yo quería seguir la pista de la no-cerrada puntos, ¿cómo debo modificar la definición de $E \oplus F$ como conjuntos?

La única solución rigurosa que viene a mi mente es directamente pegamento este esquema utilizando la "suma directa de" cocycle, a partir de $U_i \times \mathbb{C}^{r+s}$ como constituyente de los esquemas.

3. Soy consciente de que este enfoque de describir vector de paquetes en última instancia, debe ser el mismo que usar localmente libre de las poleas. La prueba dada en el libro no es lo suficientemente riguroso como para mi gusto, a causa de las complicaciones arriba mencionadas. Hay una fuente que describe este enfoque de vector haces y las relacionadas con las construcciones más rigor?

Answer 1

Parece que no-punto de cierre están dando un montón de problemas. Así que antes de hablar acerca de vector haces, me gustaría decir :

• Sí, hay no cerrado puntos. Tampoco se olvidan de ellos completamente (se trabaja a través de $\mathbb{C}$, por lo que este es, de hecho, legítimo), o leer algunos esquema general de la teoría para ver cuál es su uso, qué representan, por qué son más técnicas que las características geométricas, y por qué no debe ser visto como una dificultad adicional.
• Como usted dijo, adicional no cerrado en el punto aparece en un producto de $X\times Y$ (y, de hecho, más de una no-algebraicamente cerrado de campo, cerrada adicional de puntos parece demasiado). Ahora esto no es un problema en absoluto y, de hecho, es sólo algo que se necesita para olvidar : nunca hablar sobre el conjuntode la teoría de producto $X\times Y$. Esto no es algo interesante. Cuando usted tiene un producto $X\times Y$, esto siempre será el esquema de la teoría de la una, con tal vez un montón de nuevos no cerrado puntos, incluso un montón de nuevos cerrado de puntos (más de otros campos), pero no importa.
• Existe una noción de grupo de esquemas (y de vectores en los espacios de esquema). Esta es la misma que la noción de grupo (y de espacios vectoriales), pero escrito en el lenguaje de esquema de la teoría. Por ejemplo, $\mathbb{C}^n$ es un esquema, una estructura de grupo. Así, usted necesita un complemento que será de morfismos : $\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$ la satisfacción de algunas de sus propiedades. Esta es una de morfismos de los sistemas de $\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n$ tiene que ser un plan, y estar dotados con el esquema teórico de producto (y no el conjunto de la teoría de la una). Sí habrá adicional no cerrada puntos, pero no te preocupes.

Probablemente debería decir en este punto, ¿qué es esto de morfismos. Ya sea que usted está de acuerdo en que hay un solo (después de todo $(x,y)\mapsto x+y$ es obviamente polinomio), o quiere ir más profundo en el esquema de la teoría. En ese cas esto es : $$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_1,...,x_n]\times\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_1,...,x_n]=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x_1,y_1,...,x_n,y_n]\rightarrow\operatorname{Spec}\mathbb{C}[z_1,...,z_n]$$ el mapa inducida por el anillo de morfismos $\mathbb{C}[z_1,...,z_n]\rightarrow\mathbb{C}[x_1,y_1,...,x_n,y_n]$ tal que $z_i\mapsto x_i+y_i$. (Las coordenadas en el destino es la suma de las coordenadas de la fuente)

Ver : yo ni siquiera es necesario entender lo que la morfismos son no-punto de cierre. Sólo tengo que ver que este morfismos dar la cosa correcta en el punto de cierre.

Ahora sus preguntas específicas :

1. Sí nos importa que no sean de punto cerrado en el esquema teórico de la lengua. Con la de veces que usted va a entender que se comportan como cualquier otros puntos. Y, a menudo, cuando usted dice una declaración específica a punto cerrado, se entiende que el mismo (o con solo un pequeño cambio) declaración tiene para los no-punto de cierre. En este caso, si $p:E\rightarrow X$ es lineal fibration y $x\in X$ no es necesariamente cerrado, deje $\kappa(x)$ ser su residuo, $p^{-1}(x)$ tiene que ser $\kappa(x)$ espacio vectorial.

2. Creo que ya he contestado a esta pregunta : $E_x\oplus F_x=E_x\times F_x$ ($\oplus$ se utiliza porque estamos hablando de espacios vectoriales) es el esquema teórico de producto. (Nunca el conjunto teórico de uno). Así que no veo ningún problema aquí.

3. No he leído "Conferencias sobre el Vector de Paquetes" por J. Le Potier, así que no sé cómo riguroso es. Pero ten cuidado : no mezclar la falta de rigor con que usted tenga una dificultad. He conocido a un montón de estudiantes de quejarse acerca de algunos de los libros o de los maestros no riguroso, mientras que ellos simplemente no entienden un concepto nuevo (yo era uno de ellos de una vez, incluso dos o más). Y, por supuesto, es normal tener dificultades en este punto : estos son difíciles de matemáticas. Dicho esto, el cambio de punto de vista con otro libro no es una mala idea tampoco.