Ejemplos de involuciones en $\mathbb{R}$

Question

Recientemente he leído algo acerca de involuciones (funciones de $f: A \rightarrow A$ tal que $f(f(x))=x$, para todos los $x$ en el dominio de $f$), y se preguntaba cómo muchos (si es que hay un pequeño conjunto de funciones generales) involuciones existen para $A = \mathbb{R}$, o quizás $A = \mathbb{R} - S$, donde S es un conjunto de puntos que haría la involución de trabajo si se les deja fuera de la $A$. En general estoy interesado en funciones reales, que son involuciones, continua o de otra manera.

Hubo algunos ejemplos que he encontrado aquí, pero más sería sin duda muy interesante!

Answer 1

Si usted asume la continuidad, usted todavía tiene como muchos de involuciones como funciones continuas de $\mathbb R$ a sí mismo, es decir, la cardinalidad $c$. Por si $f$ es cualquier estrictamente la disminución de la función continua de $[0, \infty)$ a $(-\infty, 0]$, se puede extender $f$ $(-\infty, 0)$ $f(t) = x$donde $f(x) = t$, y se obtiene una continua involución.

Answer 2

Si no ponemos ningún tipo de condición $f$, habrá demasiados involuciones. Divida a los reales de ninguna manera en un discontinuo de la unión de $1$-elemento conjuntos y/o $2$-elemento de los conjuntos.

Para cualquier subdivisión $\mathbb{U}$ si $\{a\}$ es un singleton establecido en la subdivisión, deje $f(a)=a$. Si $\{a,b\}$ es un doubleton establecido en la subdivisión, deje $f(a)=b$$f(b)=a$. A continuación, $f$ es una involución. Cualquier subdivisión determina una involución, y por el contrario cada involución determina una subdivisión.

De ello se desprende que hay $2^\mathfrak{c}$ involuciones, "al igual que muchos," desde el punto de vista de la cardinalidad, como el número de funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.

Answer 3

Aquí hay un par de ejemplos que podría tener cierto atractivo.

1. El enlace ha $f(x)=a+(x-a)^{-1}$, pero en realidad $f(x)=a+b(x-a)^{-1}$ funciona para cualquier real $a$ $b$ (por supuesto, hay que quitar el $x=a$ desde el dominio).

2. Deje $g$ ser $\lbrace0,1,\dots,9\rbrace$ por $g(9)=9$, $g(d)=8-d$ para $d\ne9$. A continuación, obtener $f(x)$ mediante la aplicación de $g$ a cada uno de los dígitos en la expansión decimal de $x$. E. g., $\pi=3.14159265\dots$, lo $f(\pi)=5.74739623\dots$.

Estos son, por supuesto, casos especiales de la construcción dada por user6312, pero tal vez su concreción y sencillez de justificar sus mención aparte.

Además, parece que la ecuación de $f(f(x))=x$ es conocido como Babbage funcional de la ecuación. Hay un buen artículo sobre el por J F Ritt, En ciertas soluciones reales de Babbage funcional de la ecuación, Anales de Matemáticas 17 (1916) 113-122, doi: 10.2307/2007270.

Answer 4

Cualquier función withich es simétrica w.r.t.el 45°del eje ha $f(x)=f^{-1}(x)$$f(f(x))=x$. Visualmente, ejemplos obvios son $f(x):=\pm x$$f(x):=\frac{1}{x}$.

Por otra parte, si se toma como una función y cambio a lo largo de los 45°del eje, la propiedad no se pierde. Por lo tanto, tomar cualquier función para la que $f(f(x))=x$ y definen $F_{(f,d)}(x):=f(x-d)+d$, luego

$F_{(f,d)}(F_{(f,d)}(x))=f((f(x-d)+d)-d)+d=f(f(x-d))+d=(x-d)+d=x$.

Esto explica por qué la $\frac{1}{x-d}+d$ obras. También visualmente, es claro que la propiedad no se pierde si usted espejo de la función a lo largo del eje. Definir $G_f(x):=-f(-x)$, luego

$G_f(G_f(x))=-f(-(-f(-x)))=-f(f(-x))=-(-x)=x.$

Esta "generación de nuevas funciones a través de shift" busines me recordó a la estructura modular del grupo. Me determinado es trivial involutiva elementos y son $\frac{ax+b}{cx-a}$. Cambio de ellos a lo largo del eje por $s$ da un montón de las soluciones de ejemplo: $\frac{b-cs(s+x)+a(2s+x)}{c(s+x)-a}$.