La anterior proposición es un caso especial de la siguiente proposición.
La proposición
Deje $f(X)$ ser un monic polinomio irreducible de grado 3 en $\mathbb{Z}[X]$.
Deje $d$ ser el discriminante de $f(X)$.
Deje $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$.
Deje $L$ ser la división de campo de la $f(X)$$\mathbb{Q}$.
Supongamos las siguientes condiciones.
(1) $|d|$ es un número primo.
(2) El número de clase de $K$ es de 3.
(3) $f(X) \equiv (X - s)^2(X - t)$ (mod $d$), donde $s$ $t$ son racionales enteros y $s$ $t$ son distintos mod $d$.
A continuación, $L$ es la de Hilbert campo de la clase de $K$.
Prueba:
Dado que el grado de $f(X)$ 3, $[L : \mathbb{Q}] \leq 6$.
Desde $f(X)$ es irreductible, $3|[L : \mathbb{Q}]$.
Por (1), $[K : \mathbb{Q}] = 2$.
Por lo tanto $2|[L : \mathbb{Q}]$.
Por lo tanto $[L : \mathbb{Q}] = 6$.
Por lo tanto $[L : K] = 3$.
Por lo tanto, por (2), basta probar que cada primer ideal de $K$ es unramified en $L$.
Deje $Q$ ser un primer ideal de $K$ se encuentra por encima del primer número de $q \neq p$ donde $p = |d|$.
Por la aplicación de la propuesta de esta pregunta, $q$ es unramified en $L$.
Por lo tanto $Q$ es unramified en $L$.
Deje $P$ ser un primer ideal de $K$ se encuentra por encima del $p$.
Queda por demostrar que $P$ es unramified en $L$.
Deje $\theta$ ser una raíz de $f(X)$$L$.
Deje $M = \mathbb{Q}(\theta)$.
Desde $f(X)$ es irreductible, $[M : \mathbb{Q}] = 3$.
Por lo tanto $[L : M] = 2$.
Denotamos por a $\mathcal{O}_K, \mathcal{O}_M, \mathcal{O}_L$ los anillos de enteros en $K$, $M$, $L$ respectivamente.
Deje $D_M$ ser el discriminante de $M$.
Es bien sabido que $d = k^2 D_M$ para algunos racional entero $k$.
Desde $k^2 = 1$ por (1), $d = D_M$.
Por lo tanto $\mathcal{O}_M = \mathbb{Z}[\theta]$.
Es bien conocida(por ejemplo, Milne curso online de nota) que $p\mathcal{O}_M = \mathfrak{p}^2\mathfrak{q}$ (3), donde $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ son distintos primer ideales de $\mathcal{O}_M$.
Desde $[L : M] = 2$, Tenemos los siguientes patrones del primer descomposiciones en $L$.
(1) $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \mathfrak{P}$.
(2) $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \mathfrak{P_1}\mathfrak{P_2}$, donde $\mathfrak{P_1} \neq \mathfrak{P_2}$.
(3) $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L = \mathfrak{P}^2$.
(1)' $\mathfrak{q}\mathcal{O}_L = \mathfrak{Q}$.
(2)' $\mathfrak{q}\mathcal{O}_L = \mathfrak{Q_1}\mathfrak{Q_2}$, donde $\mathfrak{Q_1} \neq \mathfrak{Q_2}$.
(3)' $\mathfrak{q}\mathcal{O}_L = \mathfrak{Q}^2$.
Desde $L/\mathbb{Q}$ es de Galois, cada ramificación del índice del primer ideales de $L$ se encuentra por encima del $p$ es el mismo. Por tanto, sólo la combinación de (2) y (3)' es posible.
Por lo tanto $p\mathfrak{O}_L = \mathfrak{P_1}^2\mathfrak{P_2}^2\mathfrak{Q}^2$.
Desde $p$ ramifies en $K$, $p\mathfrak{O}_K = P^2$.
Por lo tanto, por el resultado anterior, $P$ es unramified en $L$.
QED
