La "necesidad" de cohomology teorías

Question

En muchas encuestas o introducciones, uno puede ver que frases tales como "había una necesidad de este tipo de cohomology" o "X tenido éxito en la invención de la cohomology de...".

Mi pregunta es: ¿por qué hay una necesidad de desarrollar cohomology teorías ? Lo que hace es traer a los estudios involucrados ?

(Tengo un poco de historia en álgebra homológica. Aparte de homología simplicial y el hecho de que permite "detectar agujeros", supongamos que yo no sé nada acerca de los más complicados de homología o cohomology teorías).

Answer 1

Yo no soy un experto, pero creo que de un cohomology teoría como una descripción de los obstáculos a la solución de algún tipo de ecuación. Por ejemplo, si el primer simplicial cohomology de un complejo simplicial se desvanece, no hay obstrucción a la asignación de pesos a los bordes y caras, así que algunas de las ecuaciones que relacionan estos pesos son satisfechos. (véase el capítulo 3 de Hatcher Topología Algebraica para obtener más información).

Para responder a su pregunta, uno podría esperar que una nueva cohomology la teoría de describir una nueva obstrucción a la solución de algún tipo de ecuación en un espacio en particular. La resolución de las ecuaciones en espacios topológicos es bastante útil, por lo que cohomology teorías son así.

Un ejemplo de análisis complejo: vamos a $f$ ser un holomorphic en algún conjunto abierto $U \subset \mathbb{C}$. Tal vez te gustaría encontrar un holomorphic antiderivada para $f$, es decir, una función de $g$ que es holomorphic en $U$ y satisface $$\frac{\partial}{\partial z} g = f.$$ It's a basic result in complex analysis that if $U$ is simply-connected, we can always find such a $g$. Let's look instead at $\mathbb{C} \setminus {0}$, the complex plane without the origin. Let $f = \frac{1}{z}$. This function is holomorphic on the punctured plane, but (again from basic complex analysis) it has no holomorphic antiderivative. So one cannot always solve the equation $\frac{d}{dz}g = f$ en este espacio. Esto se puede ver observando la "gavilla cohomology de la gavilla de holomorphic formas diferenciales." Moral: gavilla cohomology, independiente de la teoría de homología simplicial, es útil.

Answer 2

El punto es que los diferentes cohomology teorías son aplicables en diferentes situaciones y se calculan a partir de diferentes datos. Por ejemplo, simplicial/singular cohomology es calculado a partir de una triangulación (o el mapa de un simplex) en su espacio, mientras que, por ejemplo, Cech cohomology se calcula a partir de los distintos abra las cubiertas de su espacio.

También, para ciertos algebraicas geometría de las aplicaciones, no importa cómo se define la topología de una variedad, que nunca parecen tener suficiente espacio libre en conjuntos de hacer cualquier tipo de homológica cálculos, y para el desarrollo de etale cohomology resolver este obstáculo y tratemos de usar fácil de calcular, 'topológico" herramientas para investigar los objetos geométricos.

Answer 3

Para complementar Adán Saltz agradable respuesta (+1 por CIERTO): cohomology teorías que otorgan una manera de demostrar que ciertas secuencias son exactos---por ejemplo, demostrar que ciertos mapas son surjective (es decir, la solución de ciertas ecuaciones) o inyectiva. Más específicamente, y con respecto a tu pregunta de "¿Qué aportan a los estudios involucrados?", dada una secuencia exacta en un abelian categoría

$$0 \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow 0$$ and and a left exact functor $F$ (simple example: take the abelian category to be $kG$-modules, where $G$ is a $p$-group and the field $k$ has characteristic $p$, and take $F$ to be the functor of $G$-fixed points), one wants to know under what circumstances the induced map $F(A_2) \rightarrow F(A_3)$ is surjective. Tautologically, cohomology gives a sufficient condition: it's enough to check that the first derived functor on $A_1$ vanishes: $R^1 F (A_1)=0$. This may seem like no real gain. However, one thing that the cohomological machinery provides is a new technique for proving this: try to show, by descending induction, that all the higher cohomology groups $R^i F(A_1)=0$ (here, you need some kind of vanishing theorem that shows they are zero for $i$ lo suficientemente grande, y, a continuación, puede probar a usar todo el largo exacto de secuencias y de las cosas, como el 5 lexema y sus familiares).

Un buen ejemplo de este tipo de argumento a tener en cuenta es Grothendieck la prueba de Zariski principal del teorema de, por ejemplo, tal como se reproduce en Hartshorne de la geometría algebraica libro: vea el teorema de las funciones formales y sus corolarios.