¿Cuándo es $(12x+5)/(12y+2)$ no en los términos más bajos?

Question

Estoy luchando por resolver este problema y agradecería cualquier ayuda:

¿Cuándo es $\frac{12x+5}{12y+2}$ ¿NO en términos más bajos? ( $x$ , $y$ son enteros no negativos)

He descubierto que no es en términos más bajos para $x=6$ y $y=9$ porque el numerador y el denominador son divisibles por $11$ pero estoy atascado aquí.

---

EDITAR : Al parecer, "términos mínimos" no es de uso común en matemáticas, así que tendré que explicar lo que significa. Una fracción $p/q$ con $p,q\in \mathbb{Z}$ y $q\ne 0$ está en condiciones más bajas cuando $\gcd(p,q)=1$ . De lo contrario, no es en términos más bajos.

Por ejemplo, $\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{2}$ están en términos más bajos, pero $\frac{15}{3}$ y $\frac{17}{34}$ no lo son.

Answer 1

¿Cuándo es $\dfrac{12x+5}{12y+2}$ ¿Irreducible?

Esta es realmente una respuesta parcial.

Entonces, ¿cuándo $12x + 5 = A$ y $12y + 2 = B$ donde $\gcd(A, B)=1$

Tenga en cuenta que

$$\begin{align} 12 &\mid 2A - 5B \\ 5B &\equiv 2A \pmod{12} \\ B &\equiv 10A \pmod{12} \\ B &= 12n + 10A \end{align}$$

Así que $\gcd(A,B)=1$ se convierte en $\gcd(12n, A) = 1$ .

$$\begin{align} 12y + 2 &= B \\ 12y + 2 &= 12n + 10A \\ 12y &= 12n + 10A - 2 \\ \hline 10A &\equiv 2 \pmod{12} \\ 5A &\equiv 1 \pmod 6 \\ A &\equiv - 1 \pmod 6 \\ A &= 6\alpha - 1 \\ \hline 12y &= 12n + 10(6\alpha - 1) - 2 \\ 12y &= 12n + 60\alpha - 12 \\ y &= n + 5\alpha - 1 \\ \hline B &= 12n + 60\alpha - 10 \end{align}$$

Por último, resolvemos para $\alpha$ .

$$\begin{align} 12x + 5 &= A \\ 12x &= 6\alpha - 6 \\ 2x &= \alpha - 1 \\ \alpha &= 2x + 1 \end{align}$$

---

Elija cualquier valor entero para $x$ .

$\alpha = 2x + 1$

$A = 12x + 5$

Escoge cualquier $n$ tal que $\gcd(12n, A) = 1$ .

$B = 12n + 10A$

$y = n + 10x + 4$ implica

$$\dfrac{12x+5}{12y+2} = \dfrac{12x+5}{12n + 120x + 50}$$

que es irreducible siempre que $\gcd(12n, 12x+5) = 1$ .

Answer 2

Las fracciones en general están en términos mínimos $6/\pi^2$ del tiempo.
Un cuarto de las fracciones puede cancelar 2, un noveno puede cancelar 3, y así sucesivamente, por lo que la proporción sin factor primo para cancelar es $$\frac34\cdot\frac89\cdot\frac{24}{25}\cdot\frac{48}{49}\cdots=\frac6{\pi^2}$$
Para estas fracciones, $2$ y $3$ nunca se cancelará, por lo que perdemos los factores de $3/4$ y $8/9$ desde el lado izquierdo.
Estas fracciones son en términos más bajos esta proporción del tiempo: $$\frac43\frac98\frac6{\pi^2}=\frac9{\pi^2}\approx 0.91189$$

Answer 3

La fracción no está en términos mínimos si el numerador y el denominador tienen algún factor mayor que uno en común.

Otra forma de decir esto es

$$12x + 5 \equiv 0 \text{ mod }p$$

y

$$12y + 2 \equiv 0 \text{ mod }p$$

para el mismo primo $p$ .

O,

$$12x \equiv -5 \text{ mod }p$$

y

$$12y \equiv -2 \text{ mod }p.$$