Estoy tratando de modelar el tiempo entre eventos sucesivos en una secuencia de eventos.
Vamos $T_i$ ($i=1,2,\ldots$) el tiempo entre el evento de $i$$i+1$. Suponga que el $T_i$ son independientes e idénticamente distribuidas y tener el valor esperado $D$.
Deje $\tau_i=\sum_{k=1}^{i-1} T_k$ ser el tiempo de ocurrencia de evento$i$, $\tau_1$ define como $0$.
Estoy interesado en el número medio de eventos por periodo (ecuación 1): $$E\left(\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}\sum_{i=1}^\infty I(\tau_i \leq T)\right)$$ donde $I(\tau_i \leq T)$ es un indicador de la variable que es $1$ al $\tau_i \leq T$ $0$ lo contrario.
Parece ser que este debe igual a la inversa de la duración prevista entre los eventos, es decir, $$1/E(T_i)$$
Un enfoque que me llevó a probar esto es considerar el número medio de eventos por período sólo en los puntos de tiempo en el que algunas evento ha ocurrido. Si me tome $T=\tau_i$ en la expresión de que el límite se toma en la ecuación(1), tendríamos (ecuación 2): $$\frac{i}{\tau_i}$$
Tomando el límite cuando $i \to \infty$, el fuerte de la ley de los grandes números, sería igual $1/D$ en casi todas las rutas. Sería suficiente para demostrar que su expectativa también sería $1/D$?
También, ¿cómo puedo demostrar que tengo el mismo número medio de eventos por período para cada recorrido de la muestra, independientemente de si puedo tomar el límite en la definición de la media de todos los puntos de tiempo o sólo sobre los puntos de tiempo en el que se produce un evento? Si había un límite superior en $T_i$ esto habría sido trivial, pero hay más condiciones generales en las que puedo hacer este movimiento (por ejemplo, varianza finita de $T_i$ trabajo)?
Si mi enfoque no funciona ¿hay alguna otra manera de probar que la relación en la pregunta del título?
