Difícil de problemas de probabilidad

Question

Estoy teniendo problemas con probar la siguiente afirmación:

$X,Y$ son yo.yo.d. con una media de $0$ y la varianza $1$. Si $X+Y$ $X-Y$ son independientes, a continuación, $X,Y$ están distribuidos normalmente.

Debo estar buscando en los derivados de la m.g.f $X$ o algo? He comprobado que es y que $M_X(\theta)=1+\frac{1}{2}\theta^2+o(\theta^3)$ pero no puedo seguir adelante.

Answer 1

Primero de todo, observar que: $$\theta_1 X+\theta_2Y=\frac{\theta_1+\theta_2}2 (X+Y)+\frac{\theta_1-\theta_2}2 (X-Y).$$ Tenga en cuenta que $M_X(\theta)=M_Y(\theta)=g(\theta)$ porque $X$ $Y$ provienen de la misma distribución. El uso de la independencia de $X+Y$$X-Y$, y también se $X$$Y$, obtenemos: $$\mathbb E\a la izquierda(e^{\theta_1 X+\theta_2Y}\right)=\mathbb E\a la izquierda(e^{\frac{\theta_1+\theta_2}2 (X+Y)}\right)\mathbb E\a la izquierda(e^{\frac{\theta_1-\theta_2}2 (X-Y)}\right)\implica\\ g(\theta_1)g(\theta_2)=g(\frac{\theta_1+\theta_2}2)^2g(\frac{\theta_1-\theta_2}2)g(\frac{\theta_2-\theta_1}2).$$ Ahora elija $f(\theta)=\log(g(\theta))$. Llegamos a la siguiente ecuación funcional: $$f(\theta_1)+f(\theta_2)=2f(\frac{\theta_1+\theta_2}2)+f(\frac{\theta_1-\theta_2}2)+f(\frac{\theta_2-\theta_1}2).$$

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La solución de la ecuación funcional:

Con el cambio de variables, obtenemos: $$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y)+f(-y).$$ Queremos demostrar que hay constantes $\alpha$ $\beta$ tal forma que: $$f(x)=\beta x^2+\alpha x.$$ Con el fin de hacer que nos siga este método. Podemos probar primero el reclamo de los enteros. A continuación, vamos a comprobar que para los inversos de los números enteros $\frac 1n$($n\neq 0$), y, a continuación, para todos los números racionales. Finalmente, a través de la continuidad de la $f$, obtenemos que para todos los $x\in\mathbb R$.

Tenga en cuenta que $f(0)=0$ y por la fuerte inducción podemos demostrar que para todos los $n\in\mathbb N$ y todos los $x\in\mathbb R$: $$f(nx)=nf(x)+\frac{n(n-1)}2 (f(x)+f(-x))=\frac{n(n+1)}2 f(x)+\frac{n(n-1)}{2}f(-x) (\estrella).$$ La ecuación de $(\star)$, es el núcleo de la prueba.

Para demostrar que el reclamo de los enteros, elegir $x=1$, $\alpha=\frac{f(1)-f(-1)}2$ $\beta=\frac{f(1)+f(-1)}2$ y podemos ver que: $$f(n)=\frac{n(n+1)}2 f(1)+\frac{n(n-1)}{2}f(-1)=\beta n^2+\alpha n.$$ Tenga en cuenta que para el negativo $n$, tenemos: $$f(n (x))=\frac{n(n+1)}2 f(-x)+\frac{n(n-1)}{2}f(x)\\ =\frac{-n(-n+1)}2 f(x)+\frac{-n (n-1)}{2}f(-x)=f((-n)x)$$ lo que significa que la afirmación es también cierto para los negativos $n$.

Por otro lado, si elegimos $x=\frac 1n$$x=-\frac 1n$$(\star)$, podemos ver que: $$f(1)=\frac{n(n+1)}2 f(\frac 1n)+\frac{n(n-1)}{2}f(-\frac 1n)\\ f(-1)=\frac{n(n+1)}2 f(-\frac 1n)+\frac{n(n-1)}{2}f(\frac 1n).$$ Resolviendo estas dos ecuaciones en términos de $f(1)$ $f(-1)$ tenemos: $$f(\frac 1n)=\frac{\frac 1n(\frac 1n+1)}2 f(1)+\frac{\frac 1n(\frac 1n-1)}{2}f(-1)\\ f(-\frac 1n)=\frac{\frac 1n(\frac 1n+1)}2 f(-1)+\frac{\frac 1n(\frac 1n-1)}{2}f(1)$$ Ahora hemos demostrado que para todos los $\frac 1n$: $$f(\frac 1n)=\beta\frac 1{n^2}+\alpha\frac{1}n.$$

Para los números racionales, se puede ver a partir de $\star$: $$f(\frac mn)=\frac{m(m+1)}2 f(\frac 1n)+\frac{m(m-1)}{2}f(-\frac 1n)\\ =\frac{\frac mn(\frac mn+1)}2 f(1)+\frac{\frac mn(\frac mn-1)}{2}f(-1)$$ Así que para todos los números racionales $q\in\mathbb Q$ hemos demostrado que: $$f(q)=\frac{q(q+1)}2 f(1)+\frac{q(q-1)}{2}f(-1)=\beta q^2+\alpha q$$ Por la continuidad de la función característica, tenemos para todos los $x$: $$f(x)=\frac{x(x+1)}2 f(1)+\frac{x(x-1)}{2}f(-1)=\beta x^2+\alpha x.$$

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A partir de la solución de la anterior ecuación funcional, tenemos: $$f(\theta)=\beta\theta^2+\alpha \theta\implica que g(\theta)=\exp(\beta\theta^2+\alpha \theta)$$ donde teniendo en cuenta la variación de $X$ y su valor medio, podemos ver $\beta=\frac 12$$\alpha=0$.

Comentario: Aquí hemos demostrado una declaración más general, independientemente de la varianza y el valor de la media.