operador de multiplicación

Question

Deje $V$ espacio vectorial, $\dim V=N$. Definir el operador de multiplicación $L_{\mathbf{b}}$$L_{\mathbf{b}}:\omega\to \mathbf{b}\wedge\omega$, donde $\omega\in\wedge V$ ($\wedge V$ es todo exterior álgebra) y $\mathbf{b}\in V$. Quiero calcular la traza de $L_{\mathbf{b}}$.

Si $N=1,2$ elegir una base en la $V$ podemos obtener una base de $\wedge V$ y con algunos cálculos obtenemos $tr(L_{\mathbf{b}})=0$. Sin embargo, este método va a ser muy complicado para el mayor valor de $N$ porque $\dim(\wedge V)=2^N$. Así que la búsqueda de una coordenada libre (base libre), los cálculos aplicando la siguiente definición de la traza.

Si $A=\sum_{k=1}^N \mathbf{v}_k\otimes\mathbf{f}_k^{*}\in V\otimes V^{*}$$tr(A)=\sum_{k=1}^N \mathbf{f}_k^{*}(\mathbf{v}_k)$.

Answer 1

No necesita elegir ninguna base en particular; todo lo que necesita es el hecho de que$\wedge V$ se califica y$L_b$ aumenta el grado en$1$, por lo que si elige cualquier base que respete la gradación, entonces$L_b$ envía cualquier base vector a un subespacio diferente, por lo que los elementos diagonales en tal base desaparecen todos.