Aquí tenemos dos afirmaciones. Uncountability y la integridad.
En el conjunto habitual teórico de la tradición computable de los números reales son contables, ya que sólo hay un conteo de la cantidad de Máquinas de Turing. Con humor, se puede mostrar mediante el Cantor de la diagonal argumento, el mismo que se usa para mostrar que los números reales no son numerables - que este bijection de los números naturales a los reales computables números no es computable. Si usted tiene un computable bijection, usted puede calcular un número real que no está en el rango de esta función computable por diagonalización.
Por lo tanto real computable número son contables, pero no de manera efectiva contables, es decir, no se puede dar una computable bijection de los números naturales en el real computable de los números.
Acerca de la integridad, la Specker secuencia utilizando el hecho de que no son recursivamente enumerables conjuntos que no son recursivas/decidable. Tomar uno de esos conjuntos de $A\subset \mathbb{N}_1$, y considerar la posibilidad de una enumeración de lo dado por
$$a:\mathbb{N}\rightarrow A$$
Y, entonces, tener en cuenta el número
$$S_A=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{2^{a(n)}}$$
A continuación, este número es el supremum de la familia de los números computables $\{S_{A,n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ donde $S_{A,n}$ está dado por
$$S_{A,n}=\sum_{i\leq n}\frac{1}{2^{a(i)}}\text{,}$$
pero $S_A$ no es computable. (Si fuera computable, a continuación, $A$ sería recursiva.) Por lo tanto no tenemos la integridad natural de las secuencias de números computables.
Sin embargo, en el ejemplo anterior, no podemos decir que todo está hecho. Si definimos una computable de Cauchy secuencia computable de los números reales como una secuencia computable computable de los números reales $\{q_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ que no es una función computable
$$r:\mathbb{N}_1\rightarrow \mathbb{N}$$
tal que para cada a $n\in\mathbb{N}_1$, para todos los $i,j>r(n)$,
$$|q_i-q_j|<1/n$$
Y el resultado es el límite puede ser demostrado ser una computable número real, y así tener una especie de computable integridad.
Los anteriores dos cosas son los hechos, lo que tenemos algún tipo de uncountability, si queremos añadir el requisito de la computabilidad a la bijection, y una especie de integridad, el fortalecimiento de los requisitos de la definición-. Esto tiene que ser dicho que son resultados muy similares a los del Obispo del análisis constructivo.
El artículo que enlaza a mí me parece una de esas personas enojado con el infinito y que piensa que las matemáticas tienen que ser limitado a lo que ellos piensan que es filosóficamente válida. Sin embargo, la matemática es un producto libre de nuestra mente (parafraseando a Dedekind) y por lo tanto tenemos que aprender a disfrutar de ella en todas sus formas, ya que todos ellos nos da una visión más amplia del tema.
EDIT: Para la afirmación de que la computables de Cauchy secuencia $\{q_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a una computable número real $q$ sólo tenemos que dar un algoritmo (máquina de Turing) que calcula el binario de expansión de este número.
Recuerde que un número $x$ es computable si existe una función computable
$$f_x:\mathbb{N}_1\rightarrow \mathbb{Q}$$
tal que para todos los $n\in\mathbb{N}_1$,
$$|f_x(n)-x|<1/n$$
Ahora, dada nuestra computable de la secuencia, este hecho se traduce en que tenemos una función computable
$$f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}_1\rightarrow \mathbb{Q}$$
tal que para todos los $n\in\mathbb{N}$$i\in\mathbb{N}_1$,
$$|q_n-f(n,i)|<1/i$$
Ahora, ya que esta es la secuencia de Cauchy computable, tenemos que existe una función computable
$$r:\mathbb{N}_1\rightarrow \mathbb{N}$$
tal que para cada a $n\in\mathbb{N}_1$, para todos los $i,j>r(n)$,
$$|q_i-q_j|<1/n$$
Este hecho será fundamental para mostrar que el límite es computable en el caso considerado. Ahora, mediante el análisis clásico para demostrar que el límite de $q$ tenemos que por cada $n\in\mathbb{N}_1$, para todos los $i>r(n)$,
$$|q_i-q|<2/n$$
De esta manera, la función computable para aproximar $q$ está dado por
$$h(n)=f(r(4n)+1,2n)$$
