¿Qué es la entropía de un estado mixto en la física clásica?

Question

Considere la posibilidad de un sistema clásico en el que se admite cierto nivel macroscópico de la descripción. Es conocido, que durante dos puro estados $\omega_1$ $\omega_2$ en este nivel de descripción de la entropía del sistema es $S_1$ $S_2$ respectivamente.

Después, consideremos un estado mixto: $$ \omega_\text{m} = \alpha \omega_1 + (1-\alpha) \omega_2 $$

¿Qué es la entropía de $\omega_\text{m}$ en términos de$S_1$$S_2$?

Creo que no debe ser nada especial con respecto a la suma de un gran número de estados puros, así que opté por el caso más simple de dos estados puros. Si mi suposición no es cierto, por favor indique.

Para el concepto de los estados ver una entrada en la n-Laboratorio en función de características observables y los estados.

Answer 1

En macroscópicas de las unidades debe ser $$S=-R\alpha \log(\alpha e^{-S_1/R})-R(1-\alpha)\log\Big(1-\alpha)e^{-S_2/R}\Big) \\=\alpha \Big(S_1-R\log\alpha\Big)+(1-\alpha)\Big(S_2-R\log(1-\alpha)\Big),$$ donde $R$ es la constante universal de los gases. En la pura caso, esto se reduce a los libros de texto de la fórmula.

Pero esa fórmula no puede ser cierto en general. La fórmula general es $$S=\langle-R\log\rho\rangle=-R\ Tr (\rho\log\rho),$$ donde la traza sobre el microstates. Ahora representan el $\rho$ como una mezcla de dos distribuciones. Si el sistema es de $k=1,2$ es en el estilo clásico puro, pero cuántica estado mixto $\rho_k$, a continuación, la mezcla de clásicos estado tiene la densidad de la matriz $\rho=\alpha\rho_1+(1-\alpha)\rho_2$, Si uno sólo sabe que las entropías de los estados $k=1,2$ $S_k=-Tr\ \rho_k\log\rho_k$ y $$S=-Tr\ \rho\log\rho=-Tr\Big(\alpha\rho_1+(1-\alpha)\rho_2\Big)\log\rho =-\alpha\ Tr\rho_1\log\rho-(1-\alpha)\ Tr\ \rho_2\log\rho$$ que no se puede simplificar más, sin hacer aproximaciones o supuestos. La fórmula es la más razonable "simplificación" independiente de otros datos acerca de los parciales de los estados.