¿Por qué el eigenvales de una reflexión $Rx=\rho x$ $n$- dimensional espacio vectorial sólo $\lambda=-1,1$? Me parece que no puede convencer a mí mismo de esta.
Respuestas
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CGH
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Supongamos que $R$ se refleja a través de una $(n-1)$-dimensiones hyperplane $H$$\mathbb{R}^n$. Considere la posibilidad de una base de $\mathbb{R}^n$ consta de $n-1$ vectores linealmente independientes en $H$ y un único vector es ortogonal a $H$. (Se puede demostrar que estos $n$ vectores en realidad forman una base de $\mathbb{R}^n$?) Teniendo en cuenta el efecto de $R$ sobre esta base, se ve que es una base de vectores propios y usted será capaz de determinar los autovalores (junto con sus geométricas multiplicidades).
GmonC
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Una de las cosas más básicas para saber acerca de los autovalores de operadores lineales (como $R$ en la pregunta) es que si el operador satisface una ecuación polinomial, entonces sus valores propios (si alguno) debe satisfacer la misma ecuación polinómica. De aquí que la ecuación es $R^2=I$, por lo que cualquier autovalor$~\lambda$ debe satisfacer $\lambda^2=1$.
Este es, por supuesto, sólo la repetición de la respuesta por Hagen van Eitzen, pero quería destacar el principio general que pasa aquí, que no tiene nada que ver con los reflejos en particular. Por el mismo argumento que los autovalores de una proyección de$~P$ (que satisface $P^2=P$) deben ser raíces de $X^2-X$, y los valores propios de un operador$~\phi$ orden$~n$ (es decir, con $\phi^n=I$) sólo puede ser $n$-th raíces de la unidad. En general, esto permite encontrar los autovalores de "especial" lineal operadores (la satisfacción de algún polinomio relación) sin tener que preocuparse acerca de su característica de polinomios. No hay garantía, sin embargo, que todas las raíces permitido por la relación en el hecho de ser autovalores (aunque este es el caso de las reflexiones en la dimensión $n\geq2$).
Gman
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