Haz de vectores cuyas secciones no desaparecen en ninguna parte

Question

Supongamos que tengo un haz de vectores $V$ sobre una variedad proyectiva lisa $X$ con la siguiente propiedad exótica: cualquier sección global de $V$ no se desvanece en ninguna parte.

La pregunta general ¿qué podemos decir de este haz de vectores? Por ejemplo, parece que no es necesario que esté generado por secciones globales: podría ser que no hubiera suficientes secciones globales. Pero ¿podemos afirmar que tiene un sumando directo libre de rango $h^0(X, V)$ ?

Pero sobre todo me interesa el haz de tangentes $V=T_X$ . ¿Podría alguien darme un ejemplo de $X$ s.t. $T_X$ tiene esta propiedad, pero no es trivial como haz vectorial? ¿Es esto posible?

Answer 1

Aquí tiene un ejemplo del tipo que necesita:
Si $Y$ es una curva proyectiva lisa conectada de género $g\geq2$ su haz tangente $T_Y$ tiene grado $2-2g$ y, por tanto, ha $0\in \Gamma(Y,T_Y)$ como única sección regular.
Por otro lado, una curva elíptica $E$ tiene un haz tangente trivial $T_E=\mathcal O_E$ .
Así, el producto $X:=Y\times E$ tiene como haz tangente: $$T_X=p_Y^*(T_Y)\oplus p_E^*\mathcal O_E=p_Y^*(T_Y)\oplus\mathcal O_X$$ y $\Gamma(X,T_X)=\Gamma(X,p_Y^*(T_Y))\oplus \Gamma(X,\mathcal O_X)=0\oplus k$ .
Así, cada sección no nula de $T_X$ se desvanece en ninguna parte, tal y como usted requería.