Pruebe la conmutabilidad de la adición a partir de la existencia de la inversión de la adición izquierda y derecha.

Question

Recientemente he encontrado un ejercicio del libro "A survey of modern algebra" de Birkhoff y MacLane, que dice:

Dejemos que R sea un conjunto equipado con dos operaciones (suma y multiplicación) que satisfaga:

i) Leyes asociativas de adición y multiplicación

ii) Derecho distributivo: a(b+c) = ab + ac

iii) Cero: R contiene 0 de tal manera que: a+0 = a para todo a.

iv) La unidad: R contiene 1 (no es igual a 0) de tal manera que: a1 = a para todo a

iv) Para todo a, las ecuaciones a+x = 0 y y+a = 0 tienen las soluciones x y y en R.

Demuestra que a+b = b+a para a,b en R.

Se me ocurrió el siguiente argumento:

a + (b + a) + b = (a+b) + (a+b) = (a+b)(1+1) = a(1+1) + b(1+1) = (a+a) + (b+b) = a + (a+b) + b

Entonces b+a = a+b, ya que la cancelación de la izquierda y la derecha es posible. Sin embargo, esta solución no me impresiona mucho, ya que emplea tanto la distributividad izquierda como la derecha, que no son proporcionadas por (iii).

¿Puede alguien proporcionar una prueba formal para este ejercicio? ¿O el ejercicio en sí mismo no está bien establecido?

Answer 1

Anillos cercanos proporcionar ejemplos que muestren la necesidad de ambas leyes distributivas (además de tener una identidad).

El anillo cercano más sencillo se construye a partir de un grupo $G$ (no necesariamente abeliano), escrito de forma aditiva, y considerando el grupo $M(G)$ de todas las asignaciones de $G$ a $G$ (con operación puntual). Como multiplicación tomar la composición de mapas. Entonces $M(G)$ es un anillo cercano con identidad que no es un anillo (la ley distributiva es sólo unilateral) y la estructura del grupo aditivo no es conmutativa a menos que $G$ es abeliano para empezar.