Demostrando que $\frac{n!-1}{2n+7}$ no es un número entero al $n>8$

Question

Cómo puedo probar que

Si $n$ es un entero positivo tal que $$n>8$$ entonces $$\frac{n!-1}{2n+7}$$ nunca es un número entero? Algunas de las primeras cosas que vienen a mi mente es que $n!-1$ no es divisible por todos los números de$2$$n$, por lo que si $$2n+7<n^2$$ Es decir, $n>3$

a continuación, $2n+7$ debe ser un número primo con el fin de realmente obtener un número entero.

Pero eso es todo lo que he conseguido hasta ahora, después de revisar algunos conceptos básicos de la teoría de los números, teoremas, que incluso trató de vincular a Wilsons teorema, unsuccesfully. Cualquier sugerencia o idea será muy apreciada

Answer 1

Como se observa, a menos que $2n+7$ es primo, consigue $2n+7|n!$. Esto es claro, ya que si $2n+7$ no es primo, se puede escribir como $2n+7=ab$ y ya ni $a$ ni $b$ 2, ambos deben ser menos de $n$. Como Jonas señaló, si $a \neq b$ la conclusión es inmediata, mientras que si $a=b$ tenemos $a^2=2n+7$ y uno puede fácilmente concluir que $2a \leq n$.

Así que vamos a incluir, en el caso $p=2n+7$ es primo. A continuación,$n=\frac{p-7}{2}=\frac{p-1}{2}-3$.

Entonces usted consigue

$$n! \equiv 1 \pmod p$$

así

$$(\frac{p-1}{2}-3)! \equiv 1 \pmod p \,.$$ $$(\frac{p-1}{2})! \equiv \frac{p-5}{2}\frac{p-3}{2}\frac{p-1}{2} \equiv 8^{-1}(-15) \pmod p \,.$$

Plaza de los dos lados:

$$[(\frac{p-1}{2})!]^2 \equiv 64^{-1}(15)^2 \pmod p \,.$$

El LHS es exactamente $(p-1)! (-1)^{\frac{p-1}{2}}$. Así

$$(-1)^{\frac{p+1}{2}} \equiv 64^{-1}(15)^2 \pmod p \,,$$

o

$$\pm 64 \equiv 225 \pmod p$$

Esto significa que $p$ es un divisor de a $225 \pm 64$. Tenga en cuenta que $p=2n+7>23$.

Esto reduce el problema a los pocos casos para comprobar.

Answer 2

Sugerencia: $\ $ Suponiendo que $\ p = 2n\!+\!7\ $ es el primer y $\,\color{#0a0}{p\mid n! - 1},\,$ y aplicando el Teorema de Wilson

$\begin{eqnarray} {\rm mod}\ \ p\!:\ {-}1 \equiv (p\!-\!1)! &\equiv&\, (2n\!+\!6)\!&&\!(2n\!+\!5)\!\!&&\cdots (n\!+\!7) &&(n\!+\!6)\cdots (n\!+\!1)\, n!\\ &\equiv& \ \ \ (-1)&&\ \ (-2)&&\cdots\ \, (-n)&&(n\!+\!6)\cdots (n\!+\!1)\, n! \\ &\equiv& && && \quad\ \ \ (-1)^n &&(n\!+\!6)\cdots (n\!+\!1)\ \ \ \ {\rm by}\ \ \ \color{#0a0}{n!\equiv 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}\ \stackrel{\large \times\ 2^6}\Rightarrow\ \pm 2^6 &\equiv&\, (\color{#c00}{2n}\!+\!12)(\color{#c00}{2n}\!+\!10)\cdots (\color{#c00}{2n}\!+\!2)\\ &\equiv&\, (5)\,(3)\,(1)\,(-1)\,(-3)\,(-5)\equiv -15^2\ \ \ {\rm by}\ \ \ \color{#c00}{2n}\equiv -7\ \ \, ({\rm mod}\ \ p = 2n\!+\!7)\\ \\ \Rightarrow\ \ \ \pm64 &\equiv&\, 225,\ \ \ {\rm i.e.}\ \ \ p\mid 225\pm 64\\ \end{eqnarray}$