¿Este operador está acotado? Proyección del espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $V \subset H$ sean espacios de Hilbert (productos internos diferentes) con $V$ denso en $H$ . Sea $b_n$ sea una base ortonormal para $H$ y una base ortogonal para $V$ . Definir $$P_n:H \to \text{span}(b_1,...,b_n)$$ por $$P_n h = \sum_{i=1}^n (h,b_j)_Hb_j$$ por truncamiento.

¿Es cierto que $$P_n:V \to V$$ ¿está acotado? ¿Cómo puedo demostrarlo? Si no es así, ¿qué supuestos se necesitan? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $v\in V$ y $P_nv=\sum_{i=1}^n(v,b_i)_Hb_i$ . Nota

\begin{eqnarray} \|P_nv\|_V^2 &=& (\sum_{i=1}^n(v,b_i)_Hb_i,\sum_{i=1}^n(v,b_i)_Hb_i)_V \nonumber \\ &=& \sum_{i,j=1}^n(v,b_i)_H(v,b_j)_H(b_i,b_j)_V \nonumber \\ &=& \sum_{i=1}^n (v,b_i)^2_H(b_i,b_i)_V \\ &\leq & \sum_{i=1}^n\|v\|_H^2\|b_i\|_H^4\|b_i\|_V^2 \end{eqnarray}

Si $\|v\|_V\leq 1$ entonces, como la incrustación es continua, concluimos que $\|v\|_H\leq C$ para alguna constante $C$ . Esto, combinado con la última desigualdad, implica que $$\|P_nv\|^2_V\leq c,\ \forall\ v\in V,\ \|v\|_V\leq 1$$

Answer 2

Sí, la incrustación es continua

Con una incrustación continua, no necesitamos ningún cálculo para ver que $P_n \colon V \to V$ es continua, ya que entonces podemos escribir

$$ P_n = F_n \circ \pi_n \circ j$$

donde $j \colon V \to H$ es la incrustación continua, $\pi_n \colon H \to \operatorname{span}(b_1,\,\ldots,\,b_n)$ es la proyección ortogonal [por tanto, continua], y

$$F_n \colon \operatorname{span}(b_1,\,\ldots,\,b_n) \to V;\quad F_n (x) = \sum_{\nu = 1}^n (x,b_\nu)_H\cdot b_\nu $$

es un mapa lineal con dominio de dimensión finita, por tanto, continuo.