Estructura de localmente libre de $\mathcal{O}_{X}$-módulo sobre afín conjunto abierto

Question

Supongamos $X$ es un esquema. He estado estudiando finito (rango) localmente libre de $\mathcal{O}_{X}$-módulos, y, más en general, cuasi coherente poleas en $X$ principalmente por Ravi Vakil excelentes notas , así como Hartshorne. Deje $\mathcal{F}$ ser cuasi coherente $\mathcal{O}_{X}$-módulo y deje $\mathcal{G}$ ser localmente libre de $\mathcal{O}_{X}$-módulo. Entiendo que para cualquier afín $U = \text{spec}A \subset X$, se puede multar a un $A$-módulo de $M$ tal que $\mathcal{F} \vert_{U} \simeq \widetilde{M}.$ por lo tanto esta propiedad también tiene localmente libre de $\mathcal{O}_{X}$-módulos. Sin embargo, ¿cómo puedo saber que para cualquier afín subconjunto que no tiene $\mathcal{G} \vert_{U} \simeq \mathcal{O}_{X}^{\oplus^{n}}$? Sé que existe una cubierta (no necesariamente afín) $\left\lbrace U_{i} \right\rbrace_{i \in I}$ tal que esto tiene a nivel local en cada una de las $U_{i}$, pero no estoy seguro de cómo mostrar que la "libertad" de la propiedad debe, a continuación, mantenga pulsado para cualquier afín subconjunto.

Tengo la fuerte sospecha de un argumento puede ser hecho a partir de la transición de las funciones, pero no he sido capaz de hacer cualquier progreso.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias

Answer 1

No es cierto que, dado un localmente libre gavilla $\mathcal G$ de la fila $r$ y un arbitrario afín a abrir subconjunto $U\subset X$ la restricción $\mathcal G\vert U$ es isomorfo a la libre $\mathcal O_U$-Módulo de $\mathcal O_U^{\oplus r}$.
Aquí es un contraejemplo:

Considere la posibilidad de una suave curva proyectiva $\overline X$ de resultados positivos de género ( $\mathbb C$ , por ejemplo) y un punto de $P\in \overline X$.
La curva de $X=\overline X\setminus \{P\}$ es entonces afín.
Ahora vamos a $Q\in X$ ser un punto arbitrario y considerar la línea bundle $\mathcal G=\mathcal O(Q)$, que es localmente libre de rango de rango uno.
A pesar de $U=X$ es afín, que la línea de paquete no es trivial, i.e . no es isomorfo a $\mathcal O_X$:
En efecto, si se tratara de existiría una función racional $f\in Rat(X)$ con divisor $div f=1.Q$ y que la función racional se extiende a una función racional $\overline f\in Rat(\overline X)$ con divisor necesariamente de la forma $div (\overline f)=-1.P+1.Q$ (recordemos que el divisor de una función racional en $\overline X$ debe tener grado cero).
Pero esto es una contradicción: en una suave curva proyectiva de positivo género dos puntos distintos no puede ser linealmente equivalente.

Algebraicas comentario
En el diccionario menciona en la pregunta, la traducción de cuasi-coherente con poleas en $X$ a $A$-módulos el resultado anterior, dice que existe una finitely generado proyectiva módulo de $\Gamma(X,\mathcal O_X(Q))$ de la fila $1$ $A=\Gamma(X,\mathcal O_X)$ que no es isomorfo a $A$ $A$- módulo.

Answer 2

No creo que esto es cierto. Existen (finitely generado) $A$-módulos de $M$, que es localmente libre pero no gratis a sí mismos, lo que significa que $\widetilde M$ es un local libre de $\mathcal O_{Spec(A)}$-módulo de $Spec(A)$, pero no $\mathcal O_{Spec(A)}$-módulo. Es decir, hay una cubierta de la $Spec(A)$ afín abre (el distinguido abrir juegos) en la que la restricción de $\widetilde M$ es gratis, pero el $\widetilde M$ no es libre en todos los afín abre porque no es libre en $Spec(A)$ sí.