¿el polinomio de hilbert es de valor entero en todas partes?

Question

Dejemos que $R$ ser un $\mathbb{N}$ -anillo noetheriano graduado, generado finitamente sobre $R_0$ con $R_0$ local de Artinian. Deje que $M$ sea un finito $R$ -de dimensión Krull $d$ . Se sabe que la función de Hilbert $H(M,n) = \operatorname{length} (M_n)$ coincide con un polinomio $h(n)$ de grado $d-1$ para grandes valores de $n$ .

Pregunta: Ciertamente, $h(n)$ es de valor entero para valores grandes de $n$ pero ¿qué pasa con los valores pequeños de $n$ ?

Observación: La discusión en Bruns y Herzog, Cohen-Macaulay Rings, páginas 149-150, parece implicar que $h(n) \in \mathbb{Z}$ para valores pequeños de $n$ (véase en particular la observación 4.1.6).

Answer 1

Es un principio general que un polinomio $f(x)$ en $\mathbb Q(x)$ para lo cual $f(n)$ es un número entero para valores grandes de $n$ es, de hecho, de valor entero en todos los enteros $n$ .

Una forma de verlo es la siguiente: Por continuidad, si $x$ es un $p$ -entero adádico para cualquier primo $p$ entonces $f(x)$ es de nuevo un $p$ -adicto entero. (Los polinomios son continuos, y el conjunto de enteros mayores que cualquier $n_0$ es denso en $\mathbb Z_p$ .) Por lo tanto, si $n$ es un número entero, $f(n)$ es un número racional que también es un $p$ -entero de la década de los ochenta para cada primo $p$ y, por tanto, es un número entero.

Hay otras formas de demostrarlo, por supuesto.

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En el caso de los polinomios de Hilbert, también se puede interpretar el valor $h(n)$ como característica de Euler para cada valor de $n$ y así ver que es de valor entero directamente.