calcular el $ F(x)= \int_{0}^{\sin x}\sqrt{1-t^2}\,dt $

Question

Calcular el $F'(x)$

Tengo este ejercicio en mi hoja de cálculo, estoy teniendo un problema con la obtención de la respuesta correcta, que es como aparece en la hoja de respuesta $-\cos^2(x)$.

Answer 1

Ha $F(x)=G(\sin x)$ donde $G(y)=\int_0^y\sqrt{1-t^2}dt$ satisface, por el teorema fundamental del cálculo, $G'(y)=\sqrt{1-y^2}$. Así, por la regla de la cadena $$F'(x)=G'(\sin x)\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}\cdot \cos x=|\cos x|\cos x.$$ Eso es $\cos^2x$$[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$, e $-\cos^2 x$$[\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi]$.