¿Por qué la elipse es una "sección cónica"?

Question

Cuando me presentaron por primera vez a las secciones cónicas, me sorprendió un poco que la elipse sea una de ellas. Quiero decir, intuitivamente, si un cono es cortado por una superficie inclinada, uno esperaría que la sección transversal sea en forma de huevo; ya que las secciones circulares planas se vuelven más anchas cuanto más descendemos.

Todavía me resulta extraño por qué la sección transversal de un cono y una superficie inclinada se convierte en una elipse simétrica y no en una en forma de huevo. ¿Alguien puede explicar esto de una manera intuitiva? Una respuesta con una prueba matemática sería buena, pero se volvería perfecta si estuviera seguida de algo de intuición.

Answer 1

Al intentar publicar esta pregunta, veo al buscar en MSE que ya se ha discutido a principios de este año. Esta contribución tardía a la conversación quizás no sea tan intuitiva como le gustaría al OP, pero no requiere mucho pensamiento en tres dimensiones, lo cual siempre me confundió antes al intentar imaginar por qué obtienes simetría en dos ejes, en lugar de una forma de huevo, al cortar un cono de esta manera.

Tomemos un cono recto para simplificar, con vértice $V$, cortado por un plano perpendicular al plano del triángulo axial $BVE$, e intersectándolo en $AB$. Que $CD$, $EF$ sean diámetros de las secciones circulares que cortan en $AB$ en $G$ y $H$ de manera que $GA=HB.

Y que $GJ$, $HK$ sean perpendiculares desde los diámetros a las circunferencias de los círculos. Así, $GJ$ y $HK$ también son perpendiculares desde el eje $AB$ de la sección cónica a su circunferencia.

Luego, por triángulos similares $$\frac{FH}{CG}=\frac{BH}{BG}$$Igualmente$$\frac{GD}{HE}=\frac{AG}{AH}$$Pero en el lado derecho $BH=AG$ y $BG=AH$.

Por lo tanto$$\frac{FH}{CG}=\frac{GD}{HE}$$Así$$FH\times HE=CG\times GD$$

Pero en los círculos$$CG\times GD=GJ^2$$y$$FH\times HE=HK^2$$Por lo tanto$$GJ=HK$$Así, en nuestra sección cónica, cualquier par de ordenadas que se encuentren en el eje mayor a puntos equidistantes de sus vértices son iguales: la sección no tiene forma de huevo sino que tiene un eje menor alrededor del cual también es simétrica.

Si una oración pudiera de alguna manera condensar un breve argumento en una intuición:

$AG=HB$ implica, mediante triángulos similares, la proporción recíproca de los segmentos de diámetro del círculo, de ahí la igualdad de los productos de esos segmentos y de las perpendiculares que se sostienen en sus intersecciones.